В задачах 81-100 вычислить определѐнный интеграл приближѐнно по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычисления производить с округлением до…
В задачах 81-100 вычислить определѐнный интеграл приближѐнно по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычисления производить с округлением до четвѐртого десятичного знака.
Давайте рассмотрим задачу: необходимо вычислить определённый интеграл приближённо с помощью формулы Симпсона, разбив интервал на 10 равных частей и округлив результат до четырёх знаков после запятой.
Шаг 1: Запись задачи
Интеграл:
\[
\int_{-1}^{9} \frac{dx}{\sqrt{2x^3 + 3x^2 + 3x + 3}}
\]
Интервал: от \(-1\) до \(9\)
Число разбиений \(n = 10\)
Шаг 2: Нахождение ширины подинтервала \(h\)
\[ h = \frac{b - a}{n} = \frac{9 - (-1)}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]
Шаг 3: Определение узлов
Точки разбиения \(x_i\):
\[ x_i = a + i \times h, \quad i=0,1,\dots,10 \]
\[ x_0 = -1,\quad x_1 = 0,\quad x_2=1,\quad x_3=2,\quad x_4=3,\quad x_5=4,\quad x_6=5,\quad x_7=6,\quad x_8=7,\quad x_9=8,\quad x_{10}=9 \]
Шаг 4: Вычисление значений функции в узлах
Функция:
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^3 + 3x^2 + 3x + 3}}
\]
Посчитаем \(f(x_i)\):
| \(x_i\) | Вычисление выражения под корнем | \(f(x_i) = 1 / \sqrt{\text{выражение}}\) |
|---|---|---|
| -1 | \(2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 3 = -2 + 3 - 3 + 3 = 1\) | \(1 / \sqrt{1} = 1\) |
| 0 | \(0 + 0 + 0 + 3 = 3\) | \(1/\sqrt{3} \approx 0.5774\) |
| 1 | \(2(1) + 3(1) + 3(1) + 3 = 2 + 3 + 3 + 3 = 11\) | \(1/\sqrt{11} \approx 0.3015\) |
| 2 | \(2(8) + 3(4) + 6 + 3 = 16 + 12 + 6 + 3= 37\) | \(1/\sqrt{37} \approx 0.1644\) |
| 3 | \(2(27)+ 3(9)+ 9 + 3= 54+27+9+3= 93\) | \(1/\sqrt{93} \approx 0.1039\) |
| 4 | \(2(64)+ 3(16)+ 12 + 3=128+48+12+3=191\) | \(1/\sqrt{191} \approx 0.0724\) |
| 5 | \(2(125)+ 3(25)+ 15 + 3=250+75+15+3=343\) | \(1/\sqrt{343}\approx 0.0540\) |
| 6 | \(2(216)+ 3(36)+ 18 + 3=432+108+18+3=561\) | \(1/\sqrt{561} \approx 0.0422\) |
| 7 | \(2(343)+ 3(49)+ 21 + 3=686+147+21+3=857\) | \(1/\sqrt{857} \approx 0.0342\) |
| 8 | \(2(512)+ 3(64)+ 24 + 3=1024+192+24+3=1243\) | \(1/\sqrt{1243} \approx 0.0282\) |
Шаг 5: Использование формулы Симпсона
Формула Симпсона:
\[
I \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4 \sum_{i=1,3,5,7,9} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,8} f(x_i) + f(x_{n}) \right]
\]
Подставляем значения:
\[ f(x_0)=1,\quad f(x_1)=0.5774,\quad f(x_2)=0.3015,\quad f(x_3)=0.1644,\quad f(x_4)=0.1039, \] \[ f(x_5)=0.0724,\quad f(x_6)=0.0540,\quad f(x_7)=0.0422,\quad f(x_8)=0.0342,\quad f(x_9)=0.0282,\quad f(x_{10})=0. Subject to correction (last value is 0.0282). Для суммируем: \[ \text{Сумма по нечетным } i=1,3,5,7,9: \quad 0.5774 + 0.1644 + 0.0724 + 0.0422 + 0.0282 = 0.8848 \]
\[ \text{Сумма по четным } i=2,4,6,8: \quad 0.3015 + 0.1039 + 0.0540 + 0.0342= 0.4936 \]
Шаг 6: Расчет интеграла
\[ I \approx \frac{1}{3} \times 10 \times \left[ 1 + 4 \times 0.8848 + 2 \times 0.4936 + 0.0282 \right] \]
\[ = \frac{10}{3} \times \left[ 1 + 3.5392 + 0.9872 + 0.0282 \right] \]
\[ = \frac{10}{3} \times (1 + 3.5392 + 0.9872 + 0.0282) = \frac{10}{3} \times 5.5548 \]
\[ = \frac{10 \times 5.5548}{3} \approx \frac{55.548}{3} \approx 18.516 \]
Итог:
Приблизительное значение интеграла равно 18.5160 (округлённое до четырёх знаков после запятой).
