Реши с проверкой 2lgx=lg(6-x)

Давайте решим уравнение: \(2 \lg x = \lg (6 - x)\) **Шаг 1: Записать уравнение** \[ 2 \lg x = \lg (6 - x) \] где \(\lg\) означает десятичный логарифм. **Шаг 2: Использовать свойства логарифмов** Правило: \(a \lg b = \lg b^a\) Применим к левому выражению: \[ 2 \lg x = \lg x^2 \] Тогда уравнение станет: \[ \lg x^2 = \lg (6 - x) \] **Шаг 3: Убрать логарифмы** Так как \(\lg A = \lg B\), то \(A = B\), при условии, что выражения положительны. Следовательно: \[ x^2 = 6 - x \] **Шаг 4: Решить полученное квадратное уравнение** Переносим всё в левую часть: \[ x^2 + x - 6 = 0 \] Решим это уравнение: Дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] Корни: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Получаем два решения: 1. \(\displaystyle x = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\) 2. \(\displaystyle x = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) **Шаг 5: Проверка условий области определения** Логарифм определён только для положительных чисел: - Для \(\lg x\): необходимо \(x > 0\) - Для \(\lg(6 - x)\): необходимо \(6 - x > 0 \Rightarrow x < 6\) Проверим каждое решение: - \(x = 2\): - \(x > 0\): да - \(6 - x = 4 > 0\): да Значит, \(x=2\) подходит. - \(x = -3\): - \(x > 0\): нет - Следовательно, это решение исключается. **Ответ:** \[ \boxed{x = 2} \] Это единственное решение уравнения.