реши с проверкой 2lgx=lg(6-x)

Давайте решим уравнение: \(2 \lg x = \lg (6 - x)\)

Шаг 1: Записать уравнение

\[ 2 \lg x = \lg (6 - x) \]

где \(\lg\) означает десятичный логарифм.

Шаг 2: Использовать свойства логарифмов

Правило: \(a \lg b = \lg b^a\)

Применим к левому выражению:

\[ 2 \lg x = \lg x^2 \]

Тогда уравнение станет:

\[ \lg x^2 = \lg (6 - x) \]

Шаг 3: Убрать логарифмы

Так как \(\lg A = \lg B\), то \(A = B\), при условии, что выражения положительны.

Следовательно:

\[ x^2 = 6 - x \]

Шаг 4: Решить полученное квадратное уравнение

Переносим всё в левую часть:

\[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Решим это уравнение:

Дискриминант:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Корни:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Получаем два решения:

1. \(\displaystyle x = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

2. \(\displaystyle x = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

Шаг 5: Проверка условий области определения

Логарифм определён только для положительных чисел:

• Для \(\lg x\): необходимо \(x > 0\)
• Для \(\lg(6 - x)\): необходимо \(6 - x > 0 \Rightarrow x < 6\)

Проверим каждое решение:

• \(x = 2\):

  • \(x > 0\): да

  • \(6 - x = 4 > 0\): да

  Значит, \(x=2\) подходит.

• \(x = -3\):

  • \(x > 0\): нет

  • Следовательно, это решение исключается.

Ответ:

\[ \boxed{x = 2} \]

Это единственное решение уравнения.