Решить уравнения и тип уравнения

Давайте разберем каждую задачу подробно. --- ### 1. Решите уравнение: \[ \left(\frac{1}{27}\right)^x = \sqrt[3]{3} \] **Шаг 1. Представим каждое выражение в виде степеней с одинаковым основанием.** - \(\frac{1}{27} = 27^{-1}\) - \(27 = 3^3\), следовательно, \(\frac{1}{27} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}\) Значит: \[ \left(3^{-3}\right)^x = \sqrt[3]{3} \] - \(\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}\) **Шаг 2. Используем свойства степеней:** \[ (3^{-3})^x = 3^{(-3)x} \] Тогда уравнение принимает вид: \[ 3^{-3x} = 3^{1/3} \] **Шаг 3. Так как основания равны, при равенстве степеней получаем:** \[ -3x = \frac{1}{3} \] **Шаг 4. Решим уравнение для \(x\):** \[ x = - \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = - \frac{1}{9} \] **Ответ:** \[ x = - \frac{1}{9} \] --- ### 2. Решите неравенство: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} - \frac{2}{3} < 0 \] **Шаг 1. Перенесем \(\frac{2}{3}\) вправо:** \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} < \frac{2}{3} \] **Шаг 2. Запишем правую часть в виде степени, чтобы сравнить с левой.** - \( \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} \) — это экспонента с основанием \(\frac{1}{2}\) (менее 1), потому функция убывает при увеличении \(x\). **Шаг 3. Введем замену переменной:** \( y = x + 2 \) Тогда неравенство: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^y < \frac{2}{3} \] **Шаг 4. Проанализируем степень:** - \(\left(\frac{1}{2}\right)^y\) — убывающая функция. При \( y \to +\infty \), \(\left(\frac{1}{2}\right)^y \to 0\). - При \( y \to -\infty \), \(\left(\frac{1}{2}\right)^y \to +\infty \). Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^y < \frac{2}{3} \] - Поскольку \(\frac{2}{3} \approx 0.666...\), а \(\left(\frac{1}{2}\right)^y\) убывает, то: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^y < 0.666... \] - Вспомним, что: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^y = e^{y \ln(1/2)} = e^{ - y \ln 2 } \] Поскольку \(\ln 2 > 0\)), функция убывает при увеличении \(y\). - Теперь решим неравенство: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^y < \frac{2}{3} \] или \[ e^{- y \ln 2} < \frac{2}{3} \] примем натуральные логарифмы обеих частей: \[ - y \ln 2 < \ln \left(\frac{2}{3}\right) \] - \(\ln \left(\frac{2}{3}\right) < 0\) (так как \(\frac{2}{3} < 1\)). - Делим обе части на \(- \ln 2\) (отрицательное, в результате знак неравенства меняется): \[ y > \frac{\ln \left(\frac{2}{3}\right)}{- \ln 2} \] - Используем свойства логарифмов: \[ \ln \left(\frac{2}{3}\right) = \ln 2 - \ln 3 \] и \[ - \ln 2 \] поэтому: \[ y > \frac{\ln 2 - \ln 3}{- \ln 2} = \frac{\ln 3 - \ln 2}{\ln 2} \] **Поскольку** \( y = x + 2 \), получаем: \[ x + 2 > \frac{\ln 3 - \ln 2}{\ln 2} \] **Ответ:** \[ x > \frac{\ln 3 - \ln 2}{\ln 2} - 2 \] --- ### 3. Решите уравнение: \[ 2 \cdot 3^{2x} = 3^{x+1} + 1 \] **Шаг 1. Перепишем уравнение:** \[ 2 \cdot 3^{2x} = 3^{x+1} + 1 \] **Шаг 2. Используем свойства степеней:** \[ 3^{2x} = (3^x)^2 \] \[ 3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x \] Обозначим \(y = 3^x\). Тогда уравнение: \[ 2 y^2 = 3 y + 1 \] **Шаг 3. Получаем квадратное уравнение:** \[ 2 y^2 - 3 y - 1 = 0 \] **Шаг 4. Решим его:** \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4} \] **Шаг 5. Возвращаемся к \(x\):** \[ 3^x = y \] Так как \(3^x > 0\) для любого \(x\), то подходит только положительное решение: \[ y = \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \] (оно положительное, так как \(\sqrt{17} \approx 4.123\), следовательно, числитель положителен). - Второе решение: \[ y = \frac{3 - \sqrt{17}}{4} \] - Число \(3 - \sqrt{17}\) примерно равно \(3 - 4.123 = -1.123\), что отрицательно, а \(3^x > 0\), значит это решение отвергается. **Ответ:** \[ 3^x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \] \[ x = \log_3 \left(\frac{3 + \sqrt{17}}{4}\right) \] --- ### 4. Решите уравнение: \[ 4^x + 2^{x+1} - 8 = 0 \] **Шаг 1. Запишем в виде степеней двойки:** - \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\) - \(2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x\) Обозначим \( y = 2^x \). Тогда уравнение: \[ 2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 8 = 0 \] или \[ y^2 + 2y - 8 = 0 \] **Шаг 2. Решаем квадратное уравнение:** \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ y = \frac{-2 \pm 6}{2} \] - Первый корень: \[ y = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] -