Решить уравнения и тип уравнения
Давайте разберем каждую задачу подробно.
1. Решите уравнение:
\[ \left(\frac{1}{27}\right)^x = \sqrt[3]{3} \]
Шаг 1. Представим каждое выражение в виде степеней с одинаковым основанием.
- \(\frac{1}{27} = 27^{-1}\)
- \(27 = 3^3\), следовательно, \(\frac{1}{27} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}\)
Значит:
\[ \left(3^{-3}\right)^x = \sqrt[3]{3} \]
- \(\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}\)
Шаг 2. Используем свойства степеней:
\[ (3^{-3})^x = 3^{(-3)x} \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ 3^{-3x} = 3^{1/3} \]
Шаг 3. Так как основания равны, при равенстве степеней получаем:
\[ -3x = \frac{1}{3} \]
Шаг 4. Решим уравнение для \(x\):
\[ x = - \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = - \frac{1}{9} \]
Ответ:
\[ x = - \frac{1}{9} \]
2. Решите неравенство:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} - \frac{2}{3} < 0 \]
Шаг 1. Перенесем \(\frac{2}{3}\) вправо:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} < \frac{2}{3} \]
Шаг 2. Запишем правую часть в виде степени, чтобы сравнить с левой.
- \( \left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} \) — это экспонента с основанием \(\frac{1}{2}\) (менее 1), потому функция убывает при увеличении \(x\).
Шаг 3. Введем замену переменной: \( y = x + 2 \)
Тогда неравенство:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^y < \frac{2}{3} \]
Шаг 4. Проанализируем степень:
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^y\) — убывающая функция. При \( y \to +\infty \), \(\left(\frac{1}{2}\right)^y \to 0\).
- При \( y \to -\infty \), \(\left(\frac{1}{2}\right)^y \to +\infty \).
Значит, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^y < \frac{2}{3} \]
- Поскольку \(\frac{2}{3} \approx 0.666...\), а \(\left(\frac{1}{2}\right)^y\) убывает, то:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^y < 0.666... \]
- Вспомним, что:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^y = e^{y \ln(1/2)} = e^{ - y \ln 2 } \]
Поскольку \(\ln 2 > 0\)), функция убывает при увеличении \(y\).
- Теперь решим неравенство:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^y < \frac{2}{3} \]
или
\[ e^{- y \ln 2} < \frac{2}{3} \]
примем натуральные логарифмы обеих частей:
\[ - y \ln 2 < \ln \left(\frac{2}{3}\right) \]
\(\ln \left(\frac{2}{3}\right) < 0\) (так как \(\frac{2}{3} < 1\)).
Делим обе части на \(- \ln 2\) (отрицательное, в результате знак неравенства меняется):
\[ y > \frac{\ln \left(\frac{2}{3}\right)}{- \ln 2} \]
- Используем свойства логарифмов:
\[ \ln \left(\frac{2}{3}\right) = \ln 2 - \ln 3 \]
и
\[ - \ln 2 \]
поэтому:
\[ y > \frac{\ln 2 - \ln 3}{- \ln 2} = \frac{\ln 3 - \ln 2}{\ln 2} \]
Поскольку \( y = x + 2 \), получаем:
\[ x + 2 > \frac{\ln 3 - \ln 2}{\ln 2} \]
Ответ:
\[ x > \frac{\ln 3 - \ln 2}{\ln 2} - 2 \]
3. Решите уравнение:
\[ 2 \cdot 3^{2x} = 3^{x+1} + 1 \]
Шаг 1. Перепишем уравнение:
\[ 2 \cdot 3^{2x} = 3^{x+1} + 1 \]
Шаг 2. Используем свойства степеней:
\[ 3^{2x} = (3^x)^2 \]
\[ 3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x \]
Обозначим \(y = 3^x\). Тогда уравнение:
\[ 2 y^2 = 3 y + 1 \]
Шаг 3. Получаем квадратное уравнение:
\[ 2 y^2 - 3 y - 1 = 0 \]
Шаг 4. Решим его:
\[ y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4} \]
Шаг 5. Возвращаемся к \(x\):
\[ 3^x = y \]
Так как \(3^x > 0\) для любого \(x\), то подходит только положительное решение:
\[ y = \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \]
(оно положительное, так как \(\sqrt{17} \approx 4.123\), следовательно, числитель положителен).
- Второе решение:
\[ y = \frac{3 - \sqrt{17}}{4} \]
- Число \(3 - \sqrt{17}\) примерно равно \(3 - 4.123 = -1.123\), что отрицательно, а \(3^x > 0\), значит это решение отвергается.
Ответ:
\[ 3^x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \] \[ x = \log_3 \left(\frac{3 + \sqrt{17}}{4}\right) \]
4. Решите уравнение:
\[ 4^x + 2^{x+1} - 8 = 0 \]
Шаг 1. Запишем в виде степеней двойки:
- \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\)
- \(2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x\)
Обозначим \( y = 2^x \). Тогда уравнение:
\[ 2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 8 = 0 \]
или
\[ y^2 + 2y - 8 = 0 \]
Шаг 2. Решаем квадратное уравнение:
\[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \]
\[ y = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
- Первый корень:
\[ y = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
