В треугольнике АВС AC = BC, cos BAC=2/√5,AН - высота. Найдите tg BAH.

Давайте разберем задачу по шагам.

Дано:

• В треугольнике ABC: AC = BC (т.е. треугольник равнобедренный с боковыми сторонами AC и BC).
• \(\cos \angle BAC = \frac{2}{\sqrt{5}}\).
• \(AH\) — высота, проведенная из вершины A на сторону BC.
• Требуется найти \(\tan \angle BAH\).

Шаг 1: Анализ данных

Так как AC = BC, то треугольник равнобедренный со сторонами AC и BC, а вершина — A.

Обозначим:

• \(\angle BAC = \alpha\),
• \(AB = c\),
• \(AC = BC = a\),
• \(AH\) — высота из A на BC.

Также \(\angle BAC = \alpha\), а по условию \(\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Шаг 2: Определение сторон и углов

Так как в равнобедренном треугольнике ABC с AC=BC, то:

• \(AB\) — основание,
• \(\angle ABC = \angle ACB = \beta\),
• сумма углов: \(\alpha + 2\beta = 180^\circ\).

Но для вычислений важны только \(\alpha\), поскольку у нас есть \(\cos \alpha\).

Шаг 3: Построение высоты \(AH\)

• Прямая \(AH\) — высота из вершины A.
• Она опустилась на сторону BC, деля ее на две части.

Обозначим точку H — основание высоты на BC.

Поскольку \(AH\) — высота, то:

• \(\angle AH B = 90^\circ\),
• \(\angle AH C = 90^\circ\).

Между тем, треугольник \(ABH\):

• \(AB\) — сторона,
• \(AH\) — высота из A,
• \(H\) — точка на BC.

Обозначим:

• \(BH = x\),
• \(CH = y\),
• \(BC = x + y\).

Поскольку высота опущена из вершины A перпендикулярно BC, то:

\[ AH \perp BC. \]

Шаг 4: Связь через угол \(\alpha\)

Известно, что \(\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Рассмотрим треугольник \(ABH\):

• В нем угол при вершине A равен \(\alpha\),
• \(AB\) — сторона,
• \(AH\) — высота.

В треугольнике \(ABH\):

\[ \sin \alpha = \frac{AH}{AB}. \]

Но нужна величина \(\tan \angle BAH\).

\(\angle BAH\) — это угол между сторонами \(AB\) и высотой \(AH\). Заметим, что:

\[ \angle BAH = \angle BAC = \alpha. \]

То есть, \( \angle BAH = \alpha \).

Это важно: так как \(AH\) — высота, опущенная из A, и \(A\) — вершина угла \(\alpha\).

При этом, \(\angle BAH\) — это тот же самый угол \(\alpha\) (угол при вершине в точке A).

Шаг 5: Итак, задача сводится к нахождению \(\tan \alpha\).

Уже известна \(\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Тогда:

\[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}. \]

Следовательно,

\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{2}. \]

Итог:

\[ \boxed{ \boxed{\tan \angle BAH = \frac{1}{2}} } \]

Ответ: \(\boxed{\frac{1}{2}}\).