В треугольнике АВС AC = BC, cos BAC=2/√5,AН - высота. Найдите tg BAH.

Давайте разберем задачу по шагам. **Дано:** - В треугольнике ABC: AC = BC (т.е. треугольник равнобедренный с боковыми сторонами AC и BC). - \(\cos \angle BAC = \frac{2}{\sqrt{5}}\). - \(AH\) — высота, проведенная из вершины A на сторону BC. - Требуется найти \(\tan \angle BAH\). ### Шаг 1: Анализ данных Так как AC = BC, то треугольник равнобедренный со сторонами AC и BC, а вершина — A. Обозначим: - \(\angle BAC = \alpha\), - \(AB = c\), - \(AC = BC = a\), - \(AH\) — высота из A на BC. Также \(\angle BAC = \alpha\), а по условию \(\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\). ### Шаг 2: Определение сторон и углов Так как в равнобедренном треугольнике ABC с AC=BC, то: - \(AB\) — основание, - \(\angle ABC = \angle ACB = \beta\), - сумма углов: \(\alpha + 2\beta = 180^\circ\). Но для вычислений важны только \(\alpha\), поскольку у нас есть \(\cos \alpha\). ### Шаг 3: Построение высоты \(AH\) - Прямая \(AH\) — высота из вершины A. - Она опустилась на сторону BC, деля ее на две части. Обозначим точку H — основание высоты на BC. Поскольку \(AH\) — высота, то: - \(\angle AH B = 90^\circ\), - \(\angle AH C = 90^\circ\). Между тем, треугольник \(ABH\): - \(AB\) — сторона, - \(AH\) — высота из A, - \(H\) — точка на BC. Обозначим: - \(BH = x\), - \(CH = y\), - \(BC = x + y\). Поскольку высота опущена из вершины A перпендикулярно BC, то: \[ AH \perp BC. \] ### Шаг 4: Связь через угол \(\alpha\) Известно, что \(\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\). Рассмотрим треугольник \(ABH\): - В нем угол при вершине A равен \(\alpha\), - \(AB\) — сторона, - \(AH\) — высота. В треугольнике \(ABH\): \[ \sin \alpha = \frac{AH}{AB}. \] Но нужна величина \(\tan \angle BAH\). \(\angle BAH\) — это угол между сторонами \(AB\) и высотой \(AH\). Заметим, что: \[ \angle BAH = \angle BAC = \alpha. \] То есть, \( \angle BAH = \alpha \). Это важно: так как \(AH\) — высота, опущенная из A, и \(A\) — вершина угла \(\alpha\). При этом, \(\angle BAH\) — это тот же самый угол \(\alpha\) (угол при вершине в точке A). ### Шаг 5: Итак, задача сводится к нахождению \(\tan \alpha\). Уже известна \(\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\). Тогда: \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}. \] Следовательно, \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{2}. \] ### Итог: \[ \boxed{ \boxed{\tan \angle BAH = \frac{1}{2}} } \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{1}{2}}\).