log_3(x ^ 2 + 6) < log_3(5x)

Давайте решим неравенство:
\[ \log_3(x^2 + 6) < \log_3(5x) \]

Шаг 1. Условия определения логарифмов

Чтобы логарифмы были определены, внутри них должно быть положительно:

• \(x^2 + 6 > 0\) — это всегда верно, потому что \(x^2 \geq 0\), следовательно, \(x^2 + 6 > 0\) для всех \(x\).
• \(5x > 0\) — то есть \(x > 0\).

Итак, условие остается:
\[ x > 0 \]

Шаг 2. Упростим неравенство

Поскольку база логарифма одинакова и положительна, можно сравнить аргументы напрямую (при условии, что они оба положительны): \[ x^2 + 6 < 5x \]

Шаг 3. Решим неравенство

Перенесем все в левую сторону: \[ x^2 + 6 - 5x < 0 \]

Это квадратичное неравенство: \[ x^2 - 5x + 6 < 0 \]

Шаг 4. Найдём корни квадратичной уравнения

Рассмотрим уравнение: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Решим его: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \] Следовательно: \[ x = \frac{5 + 1}{2} = 3 \quad \text{или} \quad x = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]

Шаг 5. Анализ знака квадратичной функции

Квадратичная функция \(x^2 - 5x + 6\) — парабола, ветки которой раскрыты вверх. Она равна нулю в точках \(x=2\) и \(x=3\).

Значит, неравенство \(\,x^2 - 5x + 6 < 0\) выполняется между корнями: \[ x \in (2, 3) \]

Шаг 6. Учитываем условие \(x > 0\)

Объединим с нашим интервалом для выполнения неравенства: \[ x > 0 \quad \text{и} \quad x \in (2, 3) \]

Поскольку интервал \((2, 3)\) полностью лежит в области \(x > 0\), то решение: \[ \boxed{(2, 3)} \]

Итог:

Решение неравенства: \[ \boxed{x \in (2, 3)} \]

Если вам нужно более детальное объяснение или есть вопросы, — спрашивайте!