Найдите наименьшее значение функции 9. 1 28 28 y=14x-In(14x)+10 на отрезке

Здравствуйте! Давайте решим задачу: найти наименьшее значение функции \( y = 14x - \ln(14x) + 10 \) на указанном отрезке. Хотя в условии не указан конкретный отрезок, предположим, что речь идет о стандартном интервале для этой функции или что отрезок указан в полном виде. Если у вас есть точный интервал, пожалуйста, уточните его, чтобы я мог дать более точный ответ.

Для поиска наименьшего значения функции найдём её критические точки и сравним значения на границах интервала.

Шаг 1: Запишем функцию

\[ y = 14x - \ln(14x) + 10 \] Обратите внимание: в функции присутствует логарифм, поэтому область определения:
\[ 14x > 0 \Rightarrow x > 0 \] То есть, функция определена для \( x > 0 \).

Шаг 2: Найдём производную функции \( y' \)

\[ y' = \frac{d}{dx} \left( 14x - \ln(14x) + 10 \right) \] Производная каждого слагаемого:

• \( \frac{d}{dx} (14x) = 14 \)
• \( \frac{d}{dx} (-\ln(14x)) = - \frac{1}{14x} \times 14 = - \frac{14}{14x} = - \frac{1}{x} \)
• Производная 10 равна 0.

Итак, \[ y' = 14 - \frac{1}{x} \]

Шаг 3: Находим критические точки

Критические точки — это точки, где \( y' = 0 \):

\[ 14 - \frac{1}{x} = 0 \] \[ 14 = \frac{1}{x} \] \[ x = \frac{1}{14} \]

Область определения — \( x > 0 \), и точка \( x= \frac{1}{14} \) там есть.

Шаг 4: Исследуем поведение функции — знак производной

• Для \( x < \frac{1}{14} \): \( y' = 14 - \frac{1}{x} \), и поскольку \( x < \frac{1}{14} \), то \( \frac{1}{x} > 14 \), следовательно,
  \( y' < 0 \).
  Значит, функция убывает.

• Для \( x > \frac{1}{14} \): \( \frac{1}{x} < 14 \), следовательно,
  \( y' = 14 - \frac{1}{x} > 0 \).
  Значит, функция возрастает.

Значит, критическая точка в \( x= \frac{1}{14} \) — точка минимума.

Шаг 5: Вычислим значение функции в критической точке:

\[ y \left( \frac{1}{14} \right) = 14 \times \frac{1}{14} - \ln \left( 14 \times \frac{1}{14} \right) + 10 \] \[ = 1 - \ln 1 + 10 \] \[ = 1 - 0 + 10 = 11 \]

Шаг 6: Проверим значения на границах интервала

Если интервал указан, например, \( (a; b) \), то необходимо вычислить \( y(a) \) и \( y(b) \). Предположим, что интервал — \( (0; \infty) \), так как функция определена для \( x>0 \):

• К сожалению, при \( x \to 0^+ \): \[ y \to 14 \times 0 - \ln(14 \times 0) + 10 \to -\infty \] потому что \( \ln(14x) \to -\infty \). Следовательно, функция стремится к минус бесконечности.

• При \( x \to \infty \), \( y \to \infty \).

Следовательно, минимальное значение достигается в критической точке \( x = \frac{1}{14} \), и оно равно \( 11 \).

Итог:

Наименьшее значение функции равно \(\boxed{11}\), и оно достигается при \( x = \frac{1}{14} \).

Если у вас есть конкретный отрезок, укажите его, и я помогу найти точный минимум на нем!