Найдите наименьшее значение функции y=14x-In(14x)+10 на отрезке [1/28; 5/28]

Давайте подробно решим задачу: найти наименьшее значение функции \( y = 14x - \ln(14x) + 10 \) на отрезке \([ \frac{1}{28}, \frac{5}{28} ] \).

Шаг 1. Анализ функции

Функция задана как: \[ y = 14x - \ln(14x) + 10 \] Обратите внимание, что логарифм \(\ln(14x)\) определён только при \(14x > 0 \Rightarrow x > 0\), что корректно на заданном отрезке.

Шаг 2. Находим производную функции для определения её монотонности и критических точек

Вычислим первую производную \( y' \):

\[ y' = \frac{d}{dx} (14x - \ln(14x) + 10) \]

Производные по правилам:

• \(\frac{d}{dx} (14x) = 14\)
• \(\frac{d}{dx} (- \ln(14x)) = - \frac{1}{14x} \cdot 14 = - \frac{14}{14x} = - \frac{1}{x}\)
• \\( \frac{d}{dx} (10) = 0 \)

Итак,

\[ y' = 14 - \frac{1}{x} \]

Шаг 3. Ищем критические точки: равенство производной нулю

\[ 14 - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 14 = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{14} \]

Проверим, находится ли эта точка внутри отрезка \(\left[\frac{1}{28}, \frac{5}{28}\right]\).

• \(\frac{1}{14} = \frac{2}{28}\)

Значит,

\[ \frac{1}{14} = \frac{2}{28} \]

и сравним с границами:

\[ \frac{1}{28} \quad \text{и} \quad \frac{5}{28} \]

Является ли \(\frac{2}{28}\) внутри этого отрезка?

Да, поскольку:

\[ \frac{1}{28} \approx 0.0357, \quad \frac{2}{28} \approx 0.0714, \quad \frac{5}{28} \approx 0.1786 \]

и \(\frac{2}{28}\) лежит внутри.

Шаг 4. Определяем прирост функции на отрезке

Значение функции в критической точке \(x = \frac{2}{28}\):

\[ y\left(\frac{1}{14}\right) = 14 \times \frac{1}{14} - \ln \left(14 \times \frac{1}{14}\right) + 10 = 1 - \ln 1 + 10 = 1 - 0 + 10 = 11 \]

(так как \(\ln 1 = 0\)).

Значения на границах:

1. В точке \(x = \frac{1}{28}\):

\[ y\left(\frac{1}{28}\right) = 14 \times \frac{1}{28} - \ln \left(14 \times \frac{1}{28}\right) + 10 \] вычислим:

\[ 14 \times \frac{1}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

и внутри логарифма:

\[ 14 \times \frac{1}{28} = 0.5 \]

поэтому,

\[ y = 0.5 - \ln(0.5) + 10 \]

Значение \(\ln(0.5) = -\ln 2 \approx -0.6931\), следовательно:

\[ y \approx 0.5 - (-0.6931) + 10 = 0.5 + 0.6931 + 10 = 11.1931 \]

2. В точке \(x = \frac{5}{28}\):

\[ 14 \times \frac{5}{28} = \frac{14 \times 5}{28} = \frac{70}{28} = 2.5 \] и

\[ y = 2.5 - \ln(2.5) + 10 \]

\(\ln(2.5) \approx 0.9163\), значит:

\[ y \approx 2.5 - 0.9163 + 10 = 11.5837 \]

Шаг 5. Итоговые значения

• В точке критическая точка: \( y \approx 11 \)
• На левом краю: \( y \approx 11.1931 \)
• На правом краю: \( y \approx 11.5837 \)

Наименьшее значение — это примерно в точке \(x = \frac{1}{14}\):

\[ \boxed{11} \]

Ответ:

Наименьшее значение функции на данном отрезке равно \(\boxed{11}\), оно достигается при \(x = \frac{1}{14}\).