Найдите наименьшее значение функции y=14x-In(14x)+10 на отрезке [1/28; 5/28]

Давайте подробно решим задачу: найти наименьшее значение функции \( y = 14x - \ln(14x) + 10 \) на отрезке \([ \frac{1}{28}, \frac{5}{28} ] \). ### Шаг 1. Анализ функции Функция задана как: \[ y = 14x - \ln(14x) + 10 \] Обратите внимание, что логарифм \(\ln(14x)\) определён только при \(14x > 0 \Rightarrow x > 0\), что корректно на заданном отрезке. ### Шаг 2. Находим производную функции для определения её монотонности и критических точек Вычислим первую производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx} (14x - \ln(14x) + 10) \] Производные по правилам: - \(\frac{d}{dx} (14x) = 14\) - \(\frac{d}{dx} (- \ln(14x)) = - \frac{1}{14x} \cdot 14 = - \frac{14}{14x} = - \frac{1}{x}\) - \\( \frac{d}{dx} (10) = 0 \) Итак, \[ y' = 14 - \frac{1}{x} \] ### Шаг 3. Ищем критические точки: равенство производной нулю \[ 14 - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 14 = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{14} \] Проверим, находится ли эта точка внутри отрезка \(\left[\frac{1}{28}, \frac{5}{28}\right]\). - \(\frac{1}{14} = \frac{2}{28}\) Значит, \[ \frac{1}{14} = \frac{2}{28} \] и сравним с границами: \[ \frac{1}{28} \quad \text{и} \quad \frac{5}{28} \] Является ли \(\frac{2}{28}\) внутри этого отрезка? Да, поскольку: \[ \frac{1}{28} \approx 0.0357, \quad \frac{2}{28} \approx 0.0714, \quad \frac{5}{28} \approx 0.1786 \] и \(\frac{2}{28}\) лежит внутри. ### Шаг 4. Определяем прирост функции на отрезке **Значение функции в критической точке \(x = \frac{2}{28}\):** \[ y\left(\frac{1}{14}\right) = 14 \times \frac{1}{14} - \ln \left(14 \times \frac{1}{14}\right) + 10 = 1 - \ln 1 + 10 = 1 - 0 + 10 = 11 \] (так как \(\ln 1 = 0\)). **Значения на границах:** 1. В точке \(x = \frac{1}{28}\): \[ y\left(\frac{1}{28}\right) = 14 \times \frac{1}{28} - \ln \left(14 \times \frac{1}{28}\right) + 10 \] вычислим: \[ 14 \times \frac{1}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} = 0.5 \] и внутри логарифма: \[ 14 \times \frac{1}{28} = 0.5 \] поэтому, \[ y = 0.5 - \ln(0.5) + 10 \] Значение \(\ln(0.5) = -\ln 2 \approx -0.6931\), следовательно: \[ y \approx 0.5 - (-0.6931) + 10 = 0.5 + 0.6931 + 10 = 11.1931 \] 2. В точке \(x = \frac{5}{28}\): \[ 14 \times \frac{5}{28} = \frac{14 \times 5}{28} = \frac{70}{28} = 2.5 \] и \[ y = 2.5 - \ln(2.5) + 10 \] \(\ln(2.5) \approx 0.9163\), значит: \[ y \approx 2.5 - 0.9163 + 10 = 11.5837 \] ### Шаг 5. Итоговые значения - В точке критическая точка: \( y \approx 11 \) - На левом краю: \( y \approx 11.1931 \) - На правом краю: \( y \approx 11.5837 \) Наименьшее значение — это примерно в точке \(x = \frac{1}{14}\): \[ \boxed{11} \] ### **Ответ:** **Наименьшее значение функции на данном отрезке равно \(\boxed{11}\), оно достигается при \(x = \frac{1}{14}\).**