Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от t1=1 до t2 =3, если зависимость скорости тела v от времени t описывается уравнением ν(t)=5t4-6t+7 (t - в секундах, v - в…

Рассмотрим задачу подробно. Нам необходимо найти путь, пройденный точкой за промежуток времени от t₁=1 с до t₂=3 с, если скорость тела в момент времени t задан уравнением:

\[ v(t) = 5t^4 - 6t + 7 \quad (t \text{ in seconds, } v \text{ in m/s}) \]

Шаг 1. Понимание задачи

Путь, пройденный телом за интервал времени [t₁, t₂], определяется интегралом скоростей по времени:

\[ S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt \]

Нам нужно найти:

\[ S = \int_{1}^{3} (5t^4 - 6t + 7) \, dt \]

Шаг 2. Запись интеграла

\[ S = \int_{1}^{3} 5t^4 \, dt - \int_{1}^{3} 6t \, dt + \int_{1}^{3} 7 \, dt \]

Разделим интеграл на три части, чтобы было проще найти.

Шаг 3. Вычисление каждого интеграла

Интеграл 1:

\[ \int 5t^4 \, dt = 5 \times \frac{t^5}{5} = t^5 \]

Интеграл 2:

\[ \int (-6t) \, dt = -6 \times \frac{t^2}{2} = -3t^2 \]

Интеграл 3:

\[ \int 7 \, dt = 7t \]

Итак, сумма интегралов:

\[ S = [t^5 - 3t^2 + 7t]_{1}^{3} \]

Шаг 4. Вычисление значений в границах

Подставим t=3:

\[ 3^5 - 3 \times 3^2 + 7 \times 3 = 243 - 3 \times 9 + 21 = 243 - 27 + 21 = 237 \]

Подставим t=1:

\[ 1^5 - 3 \times 1^2 + 7 \times 1 = 1 - 3 + 7 = 5 \]

Шаг 5. Подсчет результата

\[ S = 237 - 5 = 232 \]

Ответ:

\[ \boxed{232 \text{ метров}} \]

Точка за промежуток времени от t=1 с до t=3 с пройдет 232 метра.