Рассмотрим задачу подробно. Нам необходимо найти путь, пройденный точкой за промежуток времени от t₁=1 с до t₂=3 с, если скорость тела в момент времени t задан уравнением:
[ v(t) = 5t^4 - 6t + 7 \quad (t \text{ in seconds, } v \text{ in m/s}) ]
Шаг 1. Понимание задачи
Путь, пройденный телом за интервал времени [t₁, t₂], определяется интегралом скоростей по времени:
[
S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) , dt
]
Нам нужно найти:
[
S = \int_{1}^{3} (5t^4 - 6t + 7) , dt
]
Шаг 2. Запись интеграла
[
S = \int_{1}^{3} 5t^4 , dt - \int_{1}^{3} 6t , dt + \int_{1}^{3} 7 , dt
]
Разделим интеграл на три части, чтобы было проще найти.
Шаг 3. Вычисление каждого интеграла
Интеграл 1:
[
\int 5t^4 , dt = 5 \times \frac{t^5}{5} = t^5
]
Интеграл 2:
[
\int (-6t) , dt = -6 \times \frac{t^2}{2} = -3t^2
]
Интеграл 3:
[
\int 7 , dt = 7t
]
Итак, сумма интегралов:
[
S = [t^5 - 3t^2 + 7t]_{1}^{3}
]
Шаг 4. Вычисление значений в границах
Подставим t=3:
[
3^5 - 3 \times 3^2 + 7 \times 3 = 243 - 3 \times 9 + 21 = 243 - 27 + 21 = 237
]
Подставим t=1:
[
1^5 - 3 \times 1^2 + 7 \times 1 = 1 - 3 + 7 = 5
]
Шаг 5. Подсчет результата
[
S = 237 - 5 = 232
]
Ответ:
[
\boxed{232 \text{ метров}}
]
Точка за промежуток времени от t=1 с до t=3 с пройдет 232 метра.
