2х²-6/|х|-1=|х|+3
Давайте подробно разберем данное уравнение:
\[ \frac{2x^2 - 6}{|x|} - 1 = |x| + 3 \]
Цель — понять, как решить это уравнение.
Шаг 1: Обозначим переменную
Так как в уравнении встречаются абсолютные значения \(|x|\), лучше ввести новую переменную:
\[ t = |x| \]
Тогда уравнение станет:
\[ \frac{2x^2 - 6}{t} - 1 = t + 3 \]
Обратите внимание, что \(x\) и \(t\) связаны:
\[ t = |x| \ge 0 \]
Также, так как \(|x| = t\), то \(x\) — либо \(x = t\), либо \(x = -t\).
Шаг 2: Перепишем уравнение через \(t\)
Поскольку \(x^2 = t^2\), тогда:
\[ \frac{2t^2 - 6}{t} - 1 = t + 3 \]
Рассмотрим левую часть:
\[ \frac{2t^2 - 6}{t} \]
Можно разделить числитель на \(t\):
\[ \frac{2t^2}{t} - \frac{6}{t} = 2t - \frac{6}{t} \]
Следовательно, уравнение принимает вид:
\[ (2t - \frac{6}{t}) - 1 = t + 3 \]
Шаг 3: Решим уравнение относительно \(t\)
Запишем его полностью:
\[ 2t - \frac{6}{t} - 1 = t + 3 \]
Перенесем все в левую часть:
\[ 2t - \frac{6}{t} - 1 - t - 3 = 0 \]
Объединим подобные:
\[ (2t - t) - \frac{6}{t} - 4 = 0 \]
Получим:
\[ t - \frac{6}{t} - 4 = 0 \]
Шаг 4: Решим чистое уравнение
Доминируем \(t\):
\[ t - \frac{6}{t} = 4 \]
Для удобства избавимся от дроби, умножая обе части на \(t\) (при условии, что \(t \neq 0\)):
\[ t^2 - 6 = 4t \]
Переходим к стандартной форме квадратичного уравнения:
\[ t^2 - 4t - 6 = 0 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Корни уравнения:
\[ t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-6)}}{2} \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 16 - 4 \times 1 \times (-6) = 16 + 24 = 40 \]
Следовательно,
\[ t = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} \]
\(\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2 \sqrt{10}\), значит:
\[ t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2} \]
Упростим:
\[ t = 2 \pm \sqrt{10} \]
Шаг 6: Проверка условий
Поскольку \(t = |x| \ge 0\):
- \(t_1 = 2 + \sqrt{10} > 0\) (все хорошо)
- \(t_2 = 2 - \sqrt{10}\)
Значение \(\sqrt{10} \approx 3.16\), значит:
\[ t_2 = 2 - 3.16 = -1.16 \]
Это отрицательное число, а абсолютное значение не может быть отрицательным, следовательно:
\[ t_2\] — не подходит.
Итак, единственное допустимое значение:
\[ t = 2 + \sqrt{10} \]
Шаг 7: Находим \(x\)
Помним: \(t = |x|\). Т.е.:
\[ |x| = 2 + \sqrt{10} \]
Это даёт два возможных решения для \(x\):
\[ x = 2 + \sqrt{10} \quad \text{или} \quad x = - (2 + \sqrt{10}) \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = \pm (2 + \sqrt{10}) } \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно проверить решение подставлением — я всегда готов помочь!
