2х²-6/|х|-1=|х|+3

Давайте подробно разберем данное уравнение: \[ \frac{2x^2 - 6}{|x|} - 1 = |x| + 3 \] Цель — понять, как решить это уравнение. --- ### Шаг 1: Обозначим переменную Так как в уравнении встречаются абсолютные значения \(|x|\), лучше ввести новую переменную: \[ t = |x| \] Тогда уравнение станет: \[ \frac{2x^2 - 6}{t} - 1 = t + 3 \] Обратите внимание, что \(x\) и \(t\) связаны: \[ t = |x| \ge 0 \] Также, так как \(|x| = t\), то \(x\) — либо \(x = t\), либо \(x = -t\). --- ### Шаг 2: Перепишем уравнение через \(t\) Поскольку \(x^2 = t^2\), тогда: \[ \frac{2t^2 - 6}{t} - 1 = t + 3 \] Рассмотрим левую часть: \[ \frac{2t^2 - 6}{t} \] Можно разделить числитель на \(t\): \[ \frac{2t^2}{t} - \frac{6}{t} = 2t - \frac{6}{t} \] Следовательно, уравнение принимает вид: \[ (2t - \frac{6}{t}) - 1 = t + 3 \] --- ### Шаг 3: Решим уравнение относительно \(t\) Запишем его полностью: \[ 2t - \frac{6}{t} - 1 = t + 3 \] Перенесем все в левую часть: \[ 2t - \frac{6}{t} - 1 - t - 3 = 0 \] Объединим подобные: \[ (2t - t) - \frac{6}{t} - 4 = 0 \] Получим: \[ t - \frac{6}{t} - 4 = 0 \] --- ### Шаг 4: Решим чистое уравнение Доминируем \(t\): \[ t - \frac{6}{t} = 4 \] Для удобства избавимся от дроби, умножая обе части на \(t\) (при условии, что \(t \neq 0\)): \[ t^2 - 6 = 4t \] Переходим к стандартной форме квадратичного уравнения: \[ t^2 - 4t - 6 = 0 \] --- ### Шаг 5: Решим квадратное уравнение Корни уравнения: \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-6)}}{2} \] Вычислим дискриминант: \[ D = 16 - 4 \times 1 \times (-6) = 16 + 24 = 40 \] Следовательно, \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} \] \(\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2 \sqrt{10}\), значит: \[ t = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2} \] Упростим: \[ t = 2 \pm \sqrt{10} \] --- ### Шаг 6: Проверка условий Поскольку \(t = |x| \ge 0\): - \(t_1 = 2 + \sqrt{10} > 0\) (все хорошо) - \(t_2 = 2 - \sqrt{10}\) Значение \(\sqrt{10} \approx 3.16\), значит: \[ t_2 = 2 - 3.16 = -1.16 \] Это отрицательное число, а абсолютное значение не может быть отрицательным, следовательно: \[ t_2\] — не подходит. **Итак, единственное допустимое значение:** \[ t = 2 + \sqrt{10} \] --- ### Шаг 7: Находим \(x\) Помним: \(t = |x|\). Т.е.: \[ |x| = 2 + \sqrt{10} \] Это даёт два возможных решения для \(x\): \[ x = 2 + \sqrt{10} \quad \text{или} \quad x = - (2 + \sqrt{10}) \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = \pm (2 + \sqrt{10}) } \] --- Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно проверить решение подставлением — я всегда готов помочь!