Найти все корни уравнения, при надлежащие отрезку [-2п, 2п] sinx =-√2/2

Давайте решим уравнение \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) на отрезке \([-2\pi, 2\pi]\). Я подробно объясню каждый шаг. --- **Шаг 1: определение уравнения** Нам нужно найти все значения \(x\), при которых \[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] на отрезке \([-2\pi, 2\pi]\). --- **Шаг 2: вспомогательная информация** Известно, что \(\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\) при \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \] где \(k \in \mathbb{Z}\). - При \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\), радикал положительный. - При \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), радикал отрицательный. Нам нужны именно значения, при которых \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). --- **Шаг 3: определение углов, соответствующих \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)** Из знаний тригонометрии, \[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \] потому что: - \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) в третьем и четвёртом квадрантах. - В третьем квадранте, основной угол: \( \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \). - В четвертом квадранте, основной угол: \( 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \). --- **Шаг 4: подстановки значений и поиск корней в диапазоне \([-2\pi, 2\pi]\)** Практически, ищем все \(x\), прибавляя \(2k\pi\), где \(k\) — целое число, чтобы не выходить за границы. Рассмотрим случаи для \(k = -1, 0, 1\), так как диапазон ограничен \([-2\pi, 2\pi]\). **Класс для \(k=0\):** \[ x = \frac{5\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4} \] Общий диапазон: \(-2\pi \leq x \leq 2\pi \). Проверим, входят ли эти значения: - \(\frac{5\pi}{4} \approx 3.927\), что больше \(2\pi \approx 6.283\), и очевидно — входит в диапазон. - \(\frac{7\pi}{4} \approx 5.497\), тоже в диапазоне. Теперь для \(k = -1\): \[ x = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356, \] \[ x = \frac{7\pi}{4} - 2\pi = \frac{7\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785. \] Оба значения лежат в диапазоне \([-2\pi, 2\pi]\). Теперь для \(k=1\): \[ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} \approx 10.21, \] что превышает \(2\pi\), поскольку \(2\pi \approx 6.283\), следовательно, это не входит в диапазон. Аналогично: \[ x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} \approx 11.78, \] тоже вне диапазона. --- **Шаг 5: Итоговые корни** Значения, входящие в диапазон: \[ x = -\frac{3\pi}{4}, \quad x = -\frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{5\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4} \] **Ответ:** \[ \boxed{ x = -\frac{3\pi}{4}, \quad x = -\frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{5\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4} } \] На этом все. Если есть вопросы — спрашивайте!