найти все корни уравнения, при надлежащие отрезку [-2п, 2п] sinx =-√2/2
Давайте решим уравнение \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) на отрезке \([-2\pi, 2\pi]\). Я подробно объясню каждый шаг.
Шаг 1: определение уравнения
Нам нужно найти все значения \(x\), при которых
\[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
на отрезке \([-2\pi, 2\pi]\).
Шаг 2: вспомогательная информация
Известно, что \(\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\) при
\[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \]
где \(k \in \mathbb{Z}\).
- При \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\), радикал положительный.
- При \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), радикал отрицательный.
Нам нужны именно значения, при которых \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Шаг 3: определение углов, соответствующих \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Из знаний тригонометрии,
\[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \]
потому что:
- \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) в третьем и четвёртом квадрантах.
- В третьем квадранте, основной угол: \( \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \).
- В четвертом квадранте, основной угол: \( 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \).
Шаг 4: подстановки значений и поиск корней в диапазоне \([-2\pi, 2\pi]\)
Практически, ищем все \(x\), прибавляя \(2k\pi\), где \(k\) — целое число, чтобы не выходить за границы.
Рассмотрим случаи для \(k = -1, 0, 1\), так как диапазон ограничен \([-2\pi, 2\pi]\).
Класс для \(k=0\):
\[ x = \frac{5\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4} \]
Общий диапазон: \(-2\pi \leq x \leq 2\pi \).
Проверим, входят ли эти значения:
- \(\frac{5\pi}{4} \approx 3.927\), что больше \(2\pi \approx 6.283\), и очевидно — входит в диапазон.
- \(\frac{7\pi}{4} \approx 5.497\), тоже в диапазоне.
Теперь для \(k = -1\):
\[ x = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356, \] \[ x = \frac{7\pi}{4} - 2\pi = \frac{7\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785. \]
Оба значения лежат в диапазоне \([-2\pi, 2\pi]\).
Теперь для \(k=1\):
\[ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} \approx 10.21, \] что превышает \(2\pi\), поскольку \(2\pi \approx 6.283\), следовательно, это не входит в диапазон.
Аналогично:
\[ x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} \approx 11.78, \] тоже вне диапазона.
Шаг 5: Итоговые корни
Значения, входящие в диапазон:
\[ x = -\frac{3\pi}{4}, \quad x = -\frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{5\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4} \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = -\frac{3\pi}{4}, \quad x = -\frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{5\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4} } \]
На этом все. Если есть вопросы — спрашивайте!
