Вариант 6. 1. Относительные величины. 2. Средние индексы и взаимосвязь индексов. 3. Распределение студентов одного из факультетов по воз¬расту характеризуется следую-щими данными:…

Конечно, давайте подробно решим задачу по шагам.

---

Дано:

Возраст студентов и количество студентов:

Возраст, лет	17	18	19	20	21	22	23	24	Итого, 750
Число студентов	20	80	90	110	130	170	90	60

Общее число студентов:
\[ N = 750 \]

---

1. Расчет среднего возраста (обозначим как \(\bar{x}\)):

Формула среднего арифметического по группам:

\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N} \]

где:

• \(x_i\) — возраст,
• \(n_i\) — число студентов в группе.

Вычисляем сумму по группам:

\[ \sum (x_i \cdot n_i) = 17 \times 20 + 18 \times 80 + 19 \times 90 + 20 \times 110 + 21 \times 130 + 22 \times 170 + 23 \times 90 + 24 \times 60 \]

Посчитаем по отдельности:

• \(17 \times 20 = 340\)
• \(18 \times 80 = 1440\)
• \(19 \times 90 = 1710\)
• \(20 \times 110 = 2200\)
• \(21 \times 130 = 2730\)
• \(22 \times 170 = 3740\)
• \(23 \times 90 = 2070\)
• \(24 \times 60 = 1440\)

Суммируем:

\[ 340 + 1440 + 1710 + 2200 + 2730 + 3740 + 2070 + 1440 = 14630 \]

Теперь считаем средний:

\[ \bar{x} = \frac{14630}{750} \approx 19.5 \text{ лет} \]

---

2. Расчет размаха вариации (\( R \)):

Размах — разница между максимально возможным и минимальным возрастом:

\[ R = x_{max} - x_{min} = 24 - 17 = 7 \text{ лет} \]

---

3. Расчет среднего линейного отклонения (\( \Delta \)):

Среднее линейное отклонение — среднее арифметическое абсолютных отклонений от среднего:

\[ \Delta = \frac{\sum n_i \times |x_i - \bar{x}|}{N} \]

Вычислим отдельно для каждого возраста:

Возраст	\(x_i\)	\(|x_i - 19.5|\)	\(n_i\)	\(n_i \times |x_i - 19.5|\)
17	17	2.5	20	\(20 \times 2.5 = 50\)
18	18	1.5	80	\(80 \times 1.5 = 120\)
19	19	0.5	90	\(90 \times 0.5 = 45\)
20	20	0.5	110	\(110 \times 0.5 = 55\)
21	21	1.5	130	\(130 \times 1.5 = 195\)
22	22	2.5	170	\(170 \times 2.5 = 425\)
23	23	3.5	90	\(90 \times 3.5 = 315\)
24	24	4.5	60	\(60 \times 4.5 = 270\)

Теперь сумма:

\[ 50 + 120 + 45 + 55 + 195 + 425 + 315 + 270 = 1475 \]

Среднее линейное отклонение:

\[ \Delta = \frac{1475}{750} \approx 1.97 \text{ лет} \]

---

4. Расчет дисперсии (\( s^2 \)):

Дисперсия — это средний квадрат отклонений от среднего:

\[ s^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N} \]

Посчитаем \((x_i - 19.5)^2\):

Возраст	\(x_i\)	\((x_i - 19.5)^2\)	\(n_i\)	\(n_i \times (x_i - 19.5)^2\)
17	17	\(2.5^2=6.25\)	20	\(20 \times 6.25=125\)
18	18	\(1.5^2=2.25\)	80	\(80 \times 2.25=180\)
19	19	\(0.5^2=0.25\)	90	\(90 \times 0.25=22.5\)
20	20	\(0.5^2=0.25\)	110	\(110 \times 0.25=27.5\)
21	21	\(1.5^2=2.25\)	130	\(130 \times 2.25=292.5\)
22	22	\(2.5^2=6.25\)	170	\(170 \times 6.25=1062.5\)
23	23	\(3.5^2=12.25\)	90	\(90 \times 12.25=1102.5\)
24	24	\(4.5^2=20.25\)	60	\(60 \times 20.25=1215\)

Сумма:

\[ 125 + 180 + 22.5 + 27.5 + 292.5 + 1062.5 + 1102.5 + 1215 = 4305 \]

Дисперсия:

\[ s^2 = \frac{4305}{750} \approx 5.74 \text{ лет}^2 \]

---

5. Среднее квадратическое отклонение (\( s \)):

\[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{5.74} \approx 2.4 \text{ лет} \]

---

6. Относительные показатели вариации:

• Коэффициент вариации (CV):

\[ CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\% \approx \frac{2.4}{19.5} \times 100\% \approx 12.3\% \]

• Показатель относительного размаха:

\[ \frac{R}{\bar{x}} \times 100\% = \frac{7}{19.5} \times 100\% \approx 35.9\% \]

---

Интерпретация:

• Размах вариации показывает, что возраст студентов колеблется в диапазоне 7 лет.
• Среднее линейное отклонение — в среднем возраст студентов отличается от среднего примерно на 2 года.
• Дисперсия и стандартное отклонение указывают на разброс возрастов.
• Относительные показатели показывают, что разброс относительно среднего составляет около 12-36%, что говорит о средней вариации возраста студентов.

Экономический смысл:
Такая вариация показывает, что студенты факультета довольно разнородны по возрасту, что может влиять на создание учебных групп, методы преподавания, социализацию и т.п.

---

Если нужен более краткий ответ или объяснение какого-то этапа — скажите!