Конечно, давайте подробно решим задачу по шагам.
Дано:
Возраст студентов и количество студентов:
| Возраст, лет |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
Итого, 750 |
| Число студентов |
20 |
80 |
90 |
110 |
130 |
170 |
90 |
60 |
|
Общее число студентов:
[ N = 750 ]
1. Расчет среднего возраста (обозначим как (\bar{x})):
Формула среднего арифметического по группам:
[
\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N}
]
где:
- (x_i) — возраст,
- (n_i) — число студентов в группе.
Вычисляем сумму по группам:
[
\sum (x_i \cdot n_i) = 17 \times 20 + 18 \times 80 + 19 \times 90 + 20 \times 110 + 21 \times 130 + 22 \times 170 + 23 \times 90 + 24 \times 60
]
Посчитаем по отдельности:
- (17 \times 20 = 340)
- (18 \times 80 = 1440)
- (19 \times 90 = 1710)
- (20 \times 110 = 2200)
- (21 \times 130 = 2730)
- (22 \times 170 = 3740)
- (23 \times 90 = 2070)
- (24 \times 60 = 1440)
Суммируем:
[
340 + 1440 + 1710 + 2200 + 2730 + 3740 + 2070 + 1440 = 14630
]
Теперь считаем средний:
[
\bar{x} = \frac{14630}{750} \approx 19.5 \text{ лет}
]
2. Расчет размаха вариации (( R )):
Размах — разница между максимально возможным и минимальным возрастом:
[
R = x_{max} - x_{min} = 24 - 17 = 7 \text{ лет}
]
3. Расчет среднего линейного отклонения (( \Delta )):
Среднее линейное отклонение — среднее арифметическое абсолютных отклонений от среднего:
[
\Delta = \frac{\sum n_i \times |x_i - \bar{x}|}{N}
]
Вычислим отдельно для каждого возраста:
| Возраст | (x_i) | (|x_i - 19.5|) | (n_i) | (n_i \times |x_i - 19.5|) |
|-----------|---------|------------------|---------|--------------------------|
| 17 | 17 | 2.5 | 20 | (20 \times 2.5 = 50) |
| 18 | 18 | 1.5 | 80 | (80 \times 1.5 = 120) |
| 19 | 19 | 0.5 | 90 | (90 \times 0.5 = 45) |
| 20 | 20 | 0.5 | 110 | (110 \times 0.5 = 55) |
| 21 | 21 | 1.5 | 130 | (130 \times 1.5 = 195) |
| 22 | 22 | 2.5 | 170 | (170 \times 2.5 = 425) |
| 23 | 23 | 3.5 | 90 | (90 \times 3.5 = 315) |
| 24 | 24 | 4.5 | 60 | (60 \times 4.5 = 270) |
Теперь сумма:
[
50 + 120 + 45 + 55 + 195 + 425 + 315 + 270 = 1475
]
Среднее линейное отклонение:
[
\Delta = \frac{1475}{750} \approx 1.97 \text{ лет}
]
4. Расчет дисперсии (( s^2 )):
Дисперсия — это средний квадрат отклонений от среднего:
[
s^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}
]
Посчитаем ((x_i - 19.5)^2):
| Возраст |
(x_i) |
((x_i - 19.5)^2) |
(n_i) |
(n_i \times (x_i - 19.5)^2) |
| 17 |
17 |
(2.5^2=6.25) |
20 |
(20 \times 6.25=125) |
| 18 |
18 |
(1.5^2=2.25) |
80 |
(80 \times 2.25=180) |
| 19 |
19 |
(0.5^2=0.25) |
90 |
(90 \times 0.25=22.5) |
| 20 |
20 |
(0.5^2=0.25) |
110 |
(110 \times 0.25=27.5) |
| 21 |
21 |
(1.5^2=2.25) |
130 |
(130 \times 2.25=292.5) |
| 22 |
22 |
(2.5^2=6.25) |
170 |
(170 \times 6.25=1062.5) |
| 23 |
23 |
(3.5^2=12.25) |
90 |
(90 \times 12.25=1102.5) |
| 24 |
24 |
(4.5^2=20.25) |
60 |
(60 \times 20.25=1215) |
Сумма:
[
125 + 180 + 22.5 + 27.5 + 292.5 + 1062.5 + 1102.5 + 1215 = 4305
]
Дисперсия:
[
s^2 = \frac{4305}{750} \approx 5.74 \text{ лет}^2
]
5. Среднее квадратическое отклонение (( s )):
[
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{5.74} \approx 2.4 \text{ лет}
]
6. Относительные показатели вариации:
- Коэффициент вариации (CV):
[
CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100% \approx \frac{2.4}{19.5} \times 100% \approx 12.3%
]
- Показатель относительного размаха:
[
\frac{R}{\bar{x}} \times 100% = \frac{7}{19.5} \times 100% \approx 35.9%
]
Интерпретация:
- Размах вариации показывает, что возраст студентов колеблется в диапазоне 7 лет.
- Среднее линейное отклонение — в среднем возраст студентов отличается от среднего примерно на 2 года.
- Дисперсия и стандартное отклонение указывают на разброс возрастов.
- Относительные показатели показывают, что разброс относительно среднего составляет около 12-36%, что говорит о средней вариации возраста студентов.
Экономический смысл:
Такая вариация показывает, что студенты факультета довольно разнородны по возрасту, что может влиять на создание учебных групп, методы преподавания, социализацию и т.п.
Если нужен более краткий ответ или объяснение какого-то этапа — скажите!
