Экзаменационная работа по математике Вариант 17 1. Вычислить 326 - 25я + (0,1)-1 2. Решить неравенство 8$27. 3. Решить уравнение logs(x2 - 4x) = logs(2x - 5) . 4. Изобразить…

Конечно! Ниже приведены подробно решенные задачи по заданному варианту экзаменационной работы по математике.

---

1. Вычислить \( 326 - 25я + (0,1)^{-1} \)

Шаги:

• Предположим, что "25я" — опечатка или так обозначена переменная, однако, скорее всего, это число 25, а "я" — опечатка.
• Если считать, что это выражение: \( 326 - 25 + (0,1)^{-1} \).

Расчёты:

• \( 326 - 25 = 301 \)
• \( (0,1)^{-1} = \frac{1}{0,1} = 10 \)
• Итог: \( 301 + 10 = 311 \)

Ответ: \(\boxed{311}\)

---

2. Решить неравенство \(8^{27}\)

Здесь, скорее всего, имеется опечатка или неполное условие.

Если предположить, что нужно найти значение \(8^{27}\), то:

• \( 8^{27} = (2^3)^{27} = 2^{3 \times 27} = 2^{81} \).

Ответ: \( 2^{81} \).

---

3. Решить уравнение \(\log_{x}(x^2 - 4x) = \log_{x}(2x - 5)\)

Шаги:

• Условие определения: аргументы логарифмов должны быть положительными и база логарифма — положительной и не равной 1.

• Так как \(\log_{x} A = \log_{x} B\), то равно и \(A = B\), при условии, что база логарифма подходит.

• Запишем: \(x^2 - 4x = 2x - 5\).

Решения:

1. \(x^2 - 4x = 2x - 5\)

2. Перенесем все в левую часть: \(x^2 - 4x - 2x + 5=0 \Rightarrow x^2 - 6x + 5=0\).

3. Решим квадратное уравнение: \(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 36 - 20 = 16\).

4. Корни: \(x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}\).

• \(x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5\),
• \(x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1\).

Ограничения:

• Аргументы логарифмов > 0:

  • \(x^2 - 4x > 0\): \(x(x - 4) > 0\), so \(x < 0\) или \(x > 4\),

  • \(2x - 5 > 0\), т.е. \(x > \frac{5}{2} = 2.5\),

• База логарифма \(x\) должна быть положительной и не равной 1:

  • \(x > 0\) и \(x \neq 1\).

Вывод:

• В пересечении условий, выбираем только \(x >4\) (так как \(x > 4\) входит в \(x > 2.5\), и исключая \(x=1\)), и базы \(x\neq 1\).

• Решения: \(x=5\) и \(x=1\).

• Но \(x=1\) исключается, так как основание логарифма не должно быть равно 1.

Ответ: \(\boxed{x=5}\).

---

4. График функции \(f\), с данными условиями

Дано:

• Область определения: \([-4;6]\),
• Значения: \([-3;5]\),
• Функция возрастает на \([-4; -1] \cup [2; 4]\),
• Убывает на \([-1; 2] \cup [4;6]\),
• Значения в точках: \(f(-1)=5\), \(f(2)=0\), \(f(4)=4\).

Пояснение:

• Построение графика — это графическая задача, которую со звёздной отметки не решить полностью, однако можно представить основные пункты:

• Отметки:
  \(-1, 5\); \(2, 0\); \(4, 4\).

• Поведение: функция возрастает на \([-4, -1]\), достигает максимум в \(-1\), затем убывает на \([-1, 2]\), затем снова возрастает на \([2, 4]\), далее убывает на \([4,6]\).

---

5. Найти точки экстремума функции \(y= 2x^3 - 18x + 1\)

Шаги:

• Вычисляем первую производную:

  \( y' = 6x^2 - 18 \).

• Найдём критические точки, при \( y' = 0 \):

  \( 6x^2 - 18 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x= \pm \sqrt{3} \).

• Вторую производную:

  \( y''= 12x \).

• Определяем тип экстремума:

  • в \(x= \sqrt{3}\):

    \( y'' = 12 \sqrt{3} > 0 \) → точка минимума.

  • в \(x= -\sqrt{3}\):

    \( y''= -12 \sqrt{3} < 0 \) → точка максимума.

Ответ:

• Точки экстремума:

  • Максимум в \(x= -\sqrt{3}\),

  • Минимум в \(x= \sqrt{3}\).

---

6. Вычислить \(\int f^2 \sin 3x\, dx\)

Здесь, кажется, есть ошибка или недостающая информация о функции \(f(x)\). Предположим, что нужно найти:

\(\int \sin^2 3x\, dx\).

• Используем треугольную формулу:

\(\sin^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2}\).

• Тогда

\[ \int \sin^2 3x\, dx = \int \frac{1 - \cos 6x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int 1\, dx - \frac{1}{2} \int \cos 6x\, dx. \]

• Вычисляем:

\[ = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{\sin 6x}{6} + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C. \]

Ответ:

\(\boxed{\frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C}\).

---

7. Вероятность выбора 5 проводов из 10, все под напряжением, если 9 из них под напряжением

Решение:

• Общее число способов выбрать 5 проводов: \(\binom{10}{5}\).
• Количество благоприятных случаев (выбирать только проводов под напряжением — 9 штук):

\(\binom{9}{5}\).

• Тогда вероятность:

\[ P = \frac{\binom{9}{5}}{\binom{10}{5}}. \]

Вычислим:

\[ \binom{9}{5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126, \] \[ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252. \]

Ответ:

\[ P = \frac{126}{252} = \frac{1}{2}. \]

---

8. Анализ разброса температуры в двух цехах

Дано:

• Цех №1: 25, 22, 24, 22, 24, 24, 21
• Цех №2: 24, 23, 24, 23, 25, 24, 22

Определение:

• Разброс данных обычно оценивается через дисперсию или разброс (например, диапазон).

• Вычислим диапазон (максимум — минимум):

  • Цех №1: максимум — 25, минимум — 21, разброс = 25 - 21 = 4.

  • Цех №2: максимум — 25, минимум — 22, разброс = 25 - 22 = 3.

Вывод:

• Цех №2 имеет меньший разброс данных.

---

9. Образующая усеченного конуса: радиус и высота, соотношение радиусов, площадь осевого сечения

Дано:

• Образующая \(l = 5\, м\),
• Высота \(h= 4\, м\),
• Радиусы оснований соотносятся как \(R_1 : R_2 = 1 : 2\).

Найти площадь осевого сечения.

Шаги:

• Обозначим: \( R_1 = r \), \( R_2= 2r \),

• Осевое сечение — трапеция с основанием равным высоте \(h=4\, м\),

• Степень наклона образующей помогает найти линию сечения.

• Плоскость, проходящая через вершину и по оси конуса — это прямоугольная фигура (тангенс угла наклона).

• Величина длины поперечного сечения по оси:

  • Расстояние между основанием и вершиной по оси: \(h = 4\,м\),

  • Радиусы оснований: \(R_1= r\), \( R_2= 2r\).

• Площадь осевого сечения — площадь трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \times h, \]

где \(a = R_1\), \(b= R_2\). Так как речь идет о сечении через ось:

\[ S = \frac{r + 2r}{2} \times 4 = \frac{3r}{2} \times 4 = 6r. \]

• Для определения \(r\) необходимо знать ещё дополнительные параметры, однако по условию, по сути, запрос — это площадь сечения, равная \(6r\).

---

10. Радиус шара 3 см. Найти ребро куба равновеликого ему

• Объем шара:

\[ V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27=36 \pi. \]

• Объем куба:

\[ V_{куба} = a^3, \]

равен объему шара, так как куб и шар — равновелики.

• Следовательно,

\[ a^3= 36 \pi \Rightarrow a= \sqrt[3]{36 \pi}. \]

Ответ:

\[ a \approx \sqrt[3]{36 \times 3,1416} \approx \sqrt[3]{113.1} \approx 4.86\, \text{см}. \]

---

Если нужно более точное решение или уточнение — обращайтесь!