Экзаменационная работа по математике Вариант 17 1. Вычислить 326 - 25я + (0,1)-1 2. Решить неравенство 8$27. 3. Решить уравнение logs(x2 - 4x) = logs(2x - 5) . 4. Изобразить график непрерывной функции, зная, что: a) Область определения функции [-4; 6]; b) Значения функции [-3; 5]; c) Функция возрастает на промежутке [-4; -1] U [2;4], убывает на промежутке [-1; 2] U [4; 6] d) f(-1)= 5, f(2)= 0, f(4)= 4. 5. Найти точки экстремума функции у = 2x3 - 18x + 1. 6. Вычислить интеграл f2 sin 3x dx. 7. Из 10 проводов под напряжением находятся 9. Электрик произвольно выбирает 5 проводов. Какова вероятность того, что все они под напряжением? 8. Замеры температуры воздуха в цехе №1старым оборудованием за неделю составляют: 25°; 22°; 24°; 22°; 24°; 24°; 21°. Замеры температуры воздуха в цехе № 2 новым оборудованием за неделю составляют: 24°; 23°; 24°; 23°; 25°; 24°; 22°. Выявить оборудование, которое имеет меньший разброс данных. 9. Образующая усеченного конуса 5 м, высота 4 м, радиусы оснований относятся как 1:2 Найдите площадь осевого сечения усеченного конуса. 10.Радиус шара равна 3 см. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Конечно! Ниже приведены подробно решенные задачи по заданному варианту экзаменационной работы по математике. --- ### 1. Вычислить \( 326 - 25я + (0,1)^{-1} \) **Шаги:** - Предположим, что "25я" — опечатка или так обозначена переменная, однако, скорее всего, это число 25, а "я" — опечатка. - Если считать, что это выражение: \( 326 - 25 + (0,1)^{-1} \). **Расчёты:** - \( 326 - 25 = 301 \) - \( (0,1)^{-1} = \frac{1}{0,1} = 10 \) - Итог: \( 301 + 10 = 311 \) **Ответ:** \(\boxed{311}\) --- ### 2. Решить неравенство \(8^{27}\) **Здесь, скорее всего, имеется опечатка или неполное условие.** Если предположить, что нужно найти значение \(8^{27}\), то: - \( 8^{27} = (2^3)^{27} = 2^{3 \times 27} = 2^{81} \). **Ответ:** \( 2^{81} \). --- ### 3. Решить уравнение \(\log_{x}(x^2 - 4x) = \log_{x}(2x - 5)\) **Шаги:** - Условие определения: аргументы логарифмов должны быть положительными и база логарифма — положительной и не равной 1. - Так как \(\log_{x} A = \log_{x} B\), то равно и \(A = B\), при условии, что база логарифма подходит. - Запишем: \(x^2 - 4x = 2x - 5\). **Решения:** 1. \(x^2 - 4x = 2x - 5\) 2. Перенесем все в левую часть: \(x^2 - 4x - 2x + 5=0 \Rightarrow x^2 - 6x + 5=0\). 3. Решим квадратное уравнение: \(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 36 - 20 = 16\). 4. Корни: \(x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}\). - \(x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5\), - \(x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1\). **Ограничения:** - Аргументы логарифмов > 0: - \(x^2 - 4x > 0\): \(x(x - 4) > 0\), so \(x < 0\) или \(x > 4\), - \(2x - 5 > 0\), т.е. \(x > \frac{5}{2} = 2.5\), - База логарифма \(x\) должна быть положительной и не равной 1: - \(x > 0\) и \(x \neq 1\). **Вывод:** - В пересечении условий, выбираем только \(x >4\) (так как \(x > 4\) входит в \(x > 2.5\), и исключая \(x=1\)), и базы \(x\neq 1\). - Решения: \(x=5\) и \(x=1\). - Но \(x=1\) исключается, так как основание логарифма не должно быть равно 1. **Ответ:** \(\boxed{x=5}\). --- ### 4. График функции \(f\), с данными условиями **Дано:** - Область определения: \([-4;6]\), - Значения: \([-3;5]\), - Функция возрастает на \([-4; -1] \cup [2; 4]\), - Убывает на \([-1; 2] \cup [4;6]\), - Значения в точках: \(f(-1)=5\), \(f(2)=0\), \(f(4)=4\). **Пояснение:** - Построение графика — это графическая задача, которую со звёздной отметки не решить полностью, однако можно представить основные пункты: - Отметки: \(-1, 5\); \(2, 0\); \(4, 4\). - Поведение: функция возрастает на \([-4, -1]\), достигает максимум в \(-1\), затем убывает на \([-1, 2]\), затем снова возрастает на \([2, 4]\), далее убывает на \([4,6]\). --- ### 5. Найти точки экстремума функции \(y= 2x^3 - 18x + 1\) **Шаги:** - Вычисляем первую производную: \( y' = 6x^2 - 18 \). - Найдём критические точки, при \( y' = 0 \): \( 6x^2 - 18 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x= \pm \sqrt{3} \). - Вторую производную: \( y''= 12x \). - Определяем тип экстремума: - в \(x= \sqrt{3}\): \( y'' = 12 \sqrt{3} > 0 \) → точка минимума. - в \(x= -\sqrt{3}\): \( y''= -12 \sqrt{3} < 0 \) → точка максимума. **Ответ:** - Точки экстремума: - Максимум в \(x= -\sqrt{3}\), - Минимум в \(x= \sqrt{3}\). --- ### 6. Вычислить \(\int f^2 \sin 3x\, dx\) Здесь, кажется, есть ошибка или недостающая информация о функции \(f(x)\). Предположим, что нужно найти: \(\int \sin^2 3x\, dx\). - Используем треугольную формулу: \(\sin^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2}\). - Тогда \[ \int \sin^2 3x\, dx = \int \frac{1 - \cos 6x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int 1\, dx - \frac{1}{2} \int \cos 6x\, dx. \] - Вычисляем: \[ = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{\sin 6x}{6} + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C. \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C}\). --- ### 7. Вероятность выбора 5 проводов из 10, все под напряжением, если 9 из них под напряжением **Решение:** - Общее число способов выбрать 5 проводов: \(\binom{10}{5}\). - Количество благоприятных случаев (выбирать только проводов под напряжением — 9 штук): \(\binom{9}{5}\). - Тогда вероятность: \[ P = \frac{\binom{9}{5}}{\binom{10}{5}}. \] Вычислим: \[ \binom{9}{5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126, \] \[ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252. \] **Ответ:** \[ P = \frac{126}{252} = \frac{1}{2}. \] --- ### 8. Анализ разброса температуры в двух цехах **Дано:** - Цех №1: 25, 22, 24, 22, 24, 24, 21 - Цех №2: 24, 23, 24, 23, 25, 24, 22 **Определение:** - Разброс данных обычно оценивается через дисперсию или разброс (например, диапазон). - Вычислим диапазон (максимум — минимум): - Цех №1: максимум — 25, минимум — 21, разброс = 25 - 21 = 4. - Цех №2: максимум — 25, минимум — 22, разброс = 25 - 22 = 3. **Вывод:** - Цех №2 имеет меньший разброс данных. --- ### 9. Образующая усеченного конуса: радиус и высота, соотношение радиусов, площадь осевого сечения Дано: - Образующая \(l = 5\, м\), - Высота \(h= 4\, м\), - Радиусы оснований соотносятся как \(R_1 : R_2 = 1 : 2\). Найти площадь осевого сечения. **Шаги:** - Обозначим: \( R_1 = r \), \( R_2= 2r \), - Осевое сечение — трапеция с основанием равным высоте \(h=4\, м\), - Степень наклона образующей помогает найти линию сечения. - Плоскость, проходящая через вершину и по оси конуса — это прямоугольная фигура (тангенс угла наклона). - Величина длины поперечного сечения по оси: - Расстояние между основанием и вершиной по оси: \(h = 4\,м\), - Радиусы оснований: \(R_1= r\), \( R_2= 2r\). - Площадь осевого сечения — площадь трапеции: \[ S = \frac{a + b}{2} \times h, \] где \(a = R_1\), \(b= R_2\). Так как речь идет о сечении через ось: \[ S = \frac{r + 2r}{2} \times 4 = \frac{3r}{2} \times 4 = 6r. \] - Для определения \(r\) необходимо знать ещё дополнительные параметры, однако по условию, по сути, запрос — это площадь сечения, равная \(6r\). --- ### 10. Радиус шара 3 см. Найти ребро куба равновеликого ему - Объем шара: \[ V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \times 3^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27=36 \pi. \] - Объем куба: \[ V_{куба} = a^3, \] равен объему шара, так как куб и шар — равновелики. - Следовательно, \[ a^3= 36 \pi \Rightarrow a= \sqrt[3]{36 \pi}. \] **Ответ:** \[ a \approx \sqrt[3]{36 \times 3,1416} \approx \sqrt[3]{113.1} \approx 4.86\, \text{см}. \] --- Если нужно более точное решение или уточнение — обращайтесь!