Найти точки экстремума функции у = 2x3 - 18x + 1.
Конечно! Сейчас я подробно объясню, как найти точки экстремума функции \( y = 2x^3 - 18x + 1 \).
Шаг 1. Найти первую производную функции \( y' \)
Чтобы найти точки экстремума, нужно определить точки потенциальных максимумов или минимумов. Они находятся там, где производная равна нулю или не определена.
Вычислим первую производную \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 18x + 1) = 6x^2 - 18 \]
Шаг 2. Решить уравнение \( y' = 0 \)
Найдём значения \( x \), при которых производная равна нул:
\[ 6x^2 - 18 = 0 \]
Поделим обе части уравнения на 6:
\[ x^2 - 3 = 0 \]
Следовательно,
\[ x^2 = 3 \]
\[ x = \pm \sqrt{3} \]
Итак, потенциальные точки экстремума находятся при \( x = \sqrt{3} \) и \( x = -\sqrt{3} \).
Шаг 3. Определить характер точек (максимум или минимум)
Для этого найдём вторую производную \( y'' \):
\[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 18) = 12x \]
Теперь подставим найденные значения \( x \):
- при \( x = \sqrt{3} \):
\[ y''(\sqrt{3}) = 12 \times \sqrt{3} > 0 \]
Так как вторая производная положительна, точка при \( x = \sqrt{3} \) — локальный минимум.
- при \( x = -\sqrt{3} \):
\[ y''(-\sqrt{3}) = 12 \times (-\sqrt{3}) < 0 \]
Значит, в этой точке — локальный максимум.
Шаг 4. Найти значения функции в точках экстремума
Подставим значения \( x \) в исходную функцию \( y \):
- для \( x = \sqrt{3} \):
\[ y(\sqrt{3}) = 2(\sqrt{3})^3 - 18(\sqrt{3}) + 1 = 2 \times 3 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} + 1 \]
\[ = (6 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3}) + 1 = -12 \sqrt{3} + 1 \]
- для \( x = -\sqrt{3} \):
\[ y(-\sqrt{3}) = 2(-\sqrt{3})^3 - 18(-\sqrt{3}) + 1 \]
\[ = 2 \times (-3 \sqrt{3}) + 18 \sqrt{3} + 1 = -6 \sqrt{3} + 18 \sqrt{3} + 1 = 12 \sqrt{3} + 1 \]
Итог
Точка экстремума с координатами:
Максимум при \( x = -\sqrt{3} \), значение функции: \( y \approx 12 \sqrt{3} + 1 \approx 12 \times 1.732 + 1 \approx 20.784 + 1 = 21.784 \)
Минимум при \( x = \sqrt{3} \), значение функции: \( y \approx -12 \sqrt{3} + 1 \approx -20.784 + 1 = -19.784 \)
Если нужно дополнительное объяснение или помощь, обращайтесь!
