К 200г сульфата аммония добавили 10 г этой же соли , в результате массовая доля расстворенного вещества увеличилась на четверть по сравнению с первоначальной. Вычислите массовую…

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

• Масса исходного сульфата аммония: \( m_1 = 200\,г \)
• Масса добавленной соли: \( m_2 = 10\,г \)
• После добавления соли, массовая доля вещества увеличилась на четверть (то есть на 25%) по сравнению с первоначальной.

Обозначим:

• \( w_1 \) — первоначальная массовая доля сульфата аммония в растворе (в %).
• \( w_2 \) — массовая доля после добавления соли (в %).

По условию: \[ w_2 = w_1 + \frac{1}{4}w_1 = \frac{5}{4}w_1 \]

Шаг 1: Найти первоначальный массовый состав.

Масса растворенного вещества в исходном растворе: \[ m_{в\_исх} = \frac{w_1}{100} \times (200 + x) \] где \( x \) — масса воды в исходном растворе. Но так как мы не знаем \( x \), заметим, что в задаче речь идет о массе растворителя и соли, поэтому лучше использовать подход с массовыми долями.

Шаг 2: Определим новую массу и новую концентрацию после добавления соли.

Общая масса после добавления соли: \[ M_{итого} = 200\,г + 10\,г = 210\,г \] Масса растворенного вещества: \[ m_{в\_итого} = 200\,г + 10\,г = 210\,г \times \frac{w_2}{100} \] Но, поскольку соль "добавляют" в раствор, то масса растворенного вещества увеличится на количество соли, добавленной в расчете.

Шаг 3: Построим уравнение для массовых долей.

Массовая доля после добавления: \[ w_2 = \frac{\text{масса растворенного вещества}}{\text{общая масса раствора}} \times 100 \]

Изначально: \[ w_1 = \frac{m_{в}}{200 + x} \times 100 \]

После добавления соли: \[ w_2 = \frac{m_{в} + 10}{210 + x} \times 100 \]

Но поскольку соль добавляется в количество 10 г, а растворитель и исходная соль остаются неизменными, то масса растворенного вещества также увеличивается на массу соли, а общая масса раствора увеличивается на 10 г.

Шаг 4: Ввести переменные и выразить \( w_1 \).

Обозначим:

• \( m_{в} \) — масса растворенного вещества в исходном растворе: \( m_{в} = \frac{w_1}{100} \times (200 + x) \)
• В исходном растворе масса растворенного вещества — \( m_{в} \), а масса растворителя — \( (200 + x) - m_{в} \).

После добавления:

• Масса растворенного вещества: \( m_{в} + 10\,г \) (так как соль добавляется), предполагаем, что вся добавленная соль растворилась.
• Общая масса раствора: \( 200 + 10 + x = 210 + x \).

Учтём, что \( m_{в} \) — это масса растворенного вещества в исходном растворе.

Обновленная масса растворенного вещества: \[ m_{в_{нов}} = m_{в} + 10\,г \]

Массовая доля после: \[ w_2 = \frac{m_{в} + 10}{210 + x} \times 100 \]

Изначально: \[ w_1 = \frac{m_{в}}{200 + x} \times 100 \]

Из условия: \[ w_2 = \frac{5}{4} w_1 \]

Подставим: \[ \frac{m_{в} + 10}{210 + x} \times 100 = \frac{5}{4} \times \left( \frac{m_{в}}{200 + x} \times 100 \right) \]

Сократим \( 100 \) с обеих сторон: \[ \frac{m_{в} + 10}{210 + x} = \frac{5}{4} \times \frac{m_{в}}{200 + x} \]

Шаг 5: Решение уравнения

Перенесем в левую сторону: \[ \frac{m_{в} + 10}{210 + x} = \frac{5 m_{в}}{4(200 + x)} \]

Перемножим крест-накрест: \[ ( m_{в} + 10 ) \times 4 (200 + x) = 5 m_{в} \times (210 + x) \]

Раскроем скобки: \[ 4 ( m_{в} + 10 )(200 + x) = 5 m_{в} (210 + x) \]

Обратим внимание, что \( m_{в} = \frac{w_1}{100} (200 + x) \)

Заменим \( m_{в} \) в уравнении: \[ 4 \left( \frac{w_1}{100} (200 + x) + 10 \right) (200 + x) = 5 \times \frac{w_1}{100} (200 + x) (210 + x) \]

Рассмотрим левую сторону: \[ 4 \left( \frac{w_1}{100}(200 + x) + 10 \right)(200 + x) \]

Обратим внимание, что если выбрать \( x \) так, чтобы упростить решение — мы можем заметить, что отношение не зависит от \( x \), так как \( (200 + x) \) скорректирует в обоих членах.

Зафиксируем \( (200 + x) \) как переменную \( S \): \[ S = 200 + x \] Тогда: \[ m_{в} = \frac{w_1}{100} S \]

Подставим: \[ 4 \left( \frac{w_1}{100} S + 10 \right) S = 5 \times \frac{w_1}{100} S (210 + x) \]

Но \( 210 + x = 210 + (S - 200) = S + 10 \)

Получается: \[ 4 \left( \frac{w_1}{100} S + 10 \right) S = 5 \times \frac{w_1}{100} S (S + 10) \]

Раскроем скобки слева: \[ 4 \left( \frac{w_1}{100} S \times S + 10 S \right) = 5 \frac{w_1}{100} S (S + 10) \] \[ 4 \left( \frac{w_1}{100} S^2 + 10 S \right) = 5 \frac{w_1}{100} S (S + 10) \]

Раскроем левую сторону: \[ 4 \times \frac{w_1}{100} S^2 + 4 \times 10 S = 5 \frac{w_1}{100} S (S + 10) \] \[ \frac{4 w_1}{100} S^2 + 40 S = 5 \frac{w_1}{100} S (S + 10) \]

Правая сторона: \[ 5 \frac{w_1}{100} S (S + 10) = 5 \frac{w_1}{100} S^2 + 50 \frac{w_1}{100} S \]

Итак, уравнение: \[ \frac{4 w_1}{100} S^2 + 40 S = 5 \frac{w_1}{100} S^2 + 50 \frac{w_1}{100} S \]

Перенесем все в левую сторону: \[ \frac{4 w_1}{100} S^2 - 5 \frac{w_1}{100} S^2 + 40 S - 50 \frac{w_1}{100} S = 0 \]

Объединим подобные члены: \[ \left( \frac{4 w_1}{100} - 5 \frac{w_1}{100} \right) S^2 + \left( 40 - 50 \frac{w_1}{100} \right) S = 0 \]

В числителе общего выражения \( \frac{w_1}{100} \) вынесем за скобки: \[ \frac{w_1}{100} (4 - 5) S^2 + \left( 40 - 50 \frac{w_1}{100} \right) S = 0 \] \[ - \frac{w_1}{100} S^2 + \left( 40 - \frac{50 w_1}{100} \right) S = 0 \]

Упростим: \[ - \frac{w_1}{100} S^2 + \left( 40 - \frac{50 w_1}{100} \right) S = 0 \]

Разделим всё на \( S \) (предполагая, что \( S \neq 0 \), а это верно, так как \( S = 200 + x \), и масса не может быть отрицательной): \[ - \frac{w_1}{100} S + \left( 40 - \frac{50 w_1}{100} \right) = 0 \]

Рассчитаем: \[ - \frac{w_1}{100} S = - \left( 40 - \frac{50 w_1}{100} \right) \] \[ \frac{w_1}{100} S = 40 - \frac{50 w_1}{100} \]

Теперь выразим \( S \): \[ S = \frac{100}{w_1} \left( 40 - \frac{50 w_1}{100} \right) \]

Раскроем скобки: \[ S = \frac{100}{w_1} \left( 40 - 0.5 w_1 \right) \]

Заметим, что \( S = 200 + x \), а \( x \) — не важна, поскольку в условии нас интересует первоначальная массовая доля \( w_1 \).

Чтобы понять, какую долю n мы ищем, отметим, что процесс позволяет вычислить \( w_1 \), и задача просит дать целое число в процентах для первоначальной доли.

Шаг 6: Итоговое вычисление

Так как \( S \) и \( w_1 \) связаны через: \[ S = \frac{100}{w_1}(40 - 0.5 w_1) \]

при этом \( S > 0 \), а \( w_1 \) — доля в %, то есть \( 0 < w_1 < 100 \).

Теперь рассмотрим границы.

При \( w_1 \to 0 \), \( S \to \infty \); при \( w_1 \to 100 \), \( S \to 0 \).

Исключая крайние случаи, попробуем подобрать целое число \( w_1 \).

Почему бы не проверить несколько значений? Или заметить, что дано условие, что ответ — целое число.

Подставим некоторые значения:

• Для \( w_1 = 16 \): \[ S = \frac{100}{16} (40 - 0.5 \times 16) = \frac{100}{16} (40 - 8) = \frac{100}{16} \times 32 = \frac{100 \times 32}{16} = 100 \times 2 = 200 \]
• Для \( w_1 = 20 \): \[ S = \frac{100}{20} (40 - 0.5 \times 20) = 5 \times (40 - 10) = 5 \times 30 = 150 \]
• Для \( w_1 = 25 \): \[ S = \frac{100}{25} (40 - 12.5) = 4 \times 27.5 = 110 \]
• Для \( w_1 = 40 \): \[ S = \frac{100}{40} (40 - 20) = 2.5 \times 20 = 50 \]

Все эти значения получаются целыми числами и логичны. В условии говорится, что ответ записывается в процентах и является целым числом.

Вывод:

Наиболее разумным и легко проверяемым является вариант \( w_1 = 16 \)%, так как по расчетам получается удобно и ясно.

Ответ:
Массовая доля исходного сульфата аммония — 16%.

---

Итог:

Массовая доля сульфата аммония в исходном растворе — 16%.