К 200г сульфата аммония добавили 10 г этой же соли , в результате массовая доля расстворенного вещества увеличилась на четверть по сравнению с первоначальной. Вычислите массовую долю в % сульфата аммония в исходном растворе , в ответе запишите целое число

Давайте решим задачу пошагово. **Дано:** - Масса исходного сульфата аммония: \( m_1 = 200\,г \) - Масса добавленной соли: \( m_2 = 10\,г \) - После добавления соли, массовая доля вещества увеличилась на четверть (то есть на 25%) по сравнению с первоначальной. Обозначим: - \( w_1 \) — первоначальная массовая доля сульфата аммония в растворе (в %). - \( w_2 \) — массовая доля после добавления соли (в %). По условию: \[ w_2 = w_1 + \frac{1}{4}w_1 = \frac{5}{4}w_1 \] **Шаг 1: Найти первоначальный массовый состав.** Масса растворенного вещества в исходном растворе: \[ m_{в\_исх} = \frac{w_1}{100} \times (200 + x) \] где \( x \) — масса воды в исходном растворе. Но так как мы не знаем \( x \), заметим, что в задаче речь идет о массе растворителя и соли, поэтому лучше использовать подход с массовыми долями. **Шаг 2: Определим новую массу и новую концентрацию после добавления соли.** Общая масса после добавления соли: \[ M_{итого} = 200\,г + 10\,г = 210\,г \] Масса растворенного вещества: \[ m_{в\_итого} = 200\,г + 10\,г = 210\,г \times \frac{w_2}{100} \] Но, поскольку соль "добавляют" в раствор, то масса растворенного вещества увеличится на количество соли, добавленной в расчете. **Шаг 3: Построим уравнение для массовых долей.** Массовая доля после добавления: \[ w_2 = \frac{\text{масса растворенного вещества}}{\text{общая масса раствора}} \times 100 \] Изначально: \[ w_1 = \frac{m_{в}}{200 + x} \times 100 \] После добавления соли: \[ w_2 = \frac{m_{в} + 10}{210 + x} \times 100 \] Но поскольку соль добавляется в количество 10 г, а растворитель и исходная соль остаются неизменными, то масса растворенного вещества также увеличивается на массу соли, а общая масса раствора увеличивается на 10 г. **Шаг 4: Ввести переменные и выразить \( w_1 \).** Обозначим: - \( m_{в} \) — масса растворенного вещества в исходном растворе: \( m_{в} = \frac{w_1}{100} \times (200 + x) \) - В исходном растворе масса растворенного вещества — \( m_{в} \), а масса растворителя — \( (200 + x) - m_{в} \). После добавления: - Масса растворенного вещества: \( m_{в} + 10\,г \) (так как соль добавляется), предполагаем, что вся добавленная соль растворилась. - Общая масса раствора: \( 200 + 10 + x = 210 + x \). **Учтём, что \( m_{в} \) — это масса растворенного вещества в исходном растворе.** Обновленная масса растворенного вещества: \[ m_{в_{нов}} = m_{в} + 10\,г \] Массовая доля после: \[ w_2 = \frac{m_{в} + 10}{210 + x} \times 100 \] Изначально: \[ w_1 = \frac{m_{в}}{200 + x} \times 100 \] Из условия: \[ w_2 = \frac{5}{4} w_1 \] Подставим: \[ \frac{m_{в} + 10}{210 + x} \times 100 = \frac{5}{4} \times \left( \frac{m_{в}}{200 + x} \times 100 \right) \] Сократим \( 100 \) с обеих сторон: \[ \frac{m_{в} + 10}{210 + x} = \frac{5}{4} \times \frac{m_{в}}{200 + x} \] **Шаг 5: Решение уравнения** Перенесем в левую сторону: \[ \frac{m_{в} + 10}{210 + x} = \frac{5 m_{в}}{4(200 + x)} \] Перемножим крест-накрест: \[ ( m_{в} + 10 ) \times 4 (200 + x) = 5 m_{в} \times (210 + x) \] Раскроем скобки: \[ 4 ( m_{в} + 10 )(200 + x) = 5 m_{в} (210 + x) \] Обратим внимание, что \( m_{в} = \frac{w_1}{100} (200 + x) \) Заменим \( m_{в} \) в уравнении: \[ 4 \left( \frac{w_1}{100} (200 + x) + 10 \right) (200 + x) = 5 \times \frac{w_1}{100} (200 + x) (210 + x) \] Рассмотрим левую сторону: \[ 4 \left( \frac{w_1}{100}(200 + x) + 10 \right)(200 + x) \] Обратим внимание, что если выбрать \( x \) так, чтобы упростить решение — мы можем заметить, что отношение не зависит от \( x \), так как \( (200 + x) \) скорректирует в обоих членах. Зафиксируем \( (200 + x) \) как переменную \( S \): \[ S = 200 + x \] Тогда: \[ m_{в} = \frac{w_1}{100} S \] Подставим: \[ 4 \left( \frac{w_1}{100} S + 10 \right) S = 5 \times \frac{w_1}{100} S (210 + x) \] Но \( 210 + x = 210 + (S - 200) = S + 10 \) Получается: \[ 4 \left( \frac{w_1}{100} S + 10 \right) S = 5 \times \frac{w_1}{100} S (S + 10) \] Раскроем скобки слева: \[ 4 \left( \frac{w_1}{100} S \times S + 10 S \right) = 5 \frac{w_1}{100} S (S + 10) \] \[ 4 \left( \frac{w_1}{100} S^2 + 10 S \right) = 5 \frac{w_1}{100} S (S + 10) \] Раскроем левую сторону: \[ 4 \times \frac{w_1}{100} S^2 + 4 \times 10 S = 5 \frac{w_1}{100} S (S + 10) \] \[ \frac{4 w_1}{100} S^2 + 40 S = 5 \frac{w_1}{100} S (S + 10) \] Правая сторона: \[ 5 \frac{w_1}{100} S (S + 10) = 5 \frac{w_1}{100} S^2 + 50 \frac{w_1}{100} S \] Итак, уравнение: \[ \frac{4 w_1}{100} S^2 + 40 S = 5 \frac{w_1}{100} S^2 + 50 \frac{w_1}{100} S \] Перенесем все в левую сторону: \[ \frac{4 w_1}{100} S^2 - 5 \frac{w_1}{100} S^2 + 40 S - 50 \frac{w_1}{100} S = 0 \] Объединим подобные члены: \[ \left( \frac{4 w_1}{100} - 5 \frac{w_1}{100} \right) S^2 + \left( 40 - 50 \frac{w_1}{100} \right) S = 0 \] В числителе общего выражения \( \frac{w_1}{100} \) вынесем за скобки: \[ \frac{w_1}{100} (4 - 5) S^2 + \left( 40 - 50 \frac{w_1}{100} \right) S = 0 \] \[ - \frac{w_1}{100} S^2 + \left( 40 - \frac{50 w_1}{100} \right) S = 0 \] Упростим: \[ - \frac{w_1}{100} S^2 + \left( 40 - \frac{50 w_1}{100} \right) S = 0 \] Разделим всё на \( S \) (предполагая, что \( S \neq 0 \), а это верно, так как \( S = 200 + x \), и масса не может быть отрицательной): \[ - \frac{w_1}{100} S + \left( 40 - \frac{50 w_1}{100} \right) = 0 \] Рассчитаем: \[ - \frac{w_1}{100} S = - \left( 40 - \frac{50 w_1}{100} \right) \] \[ \frac{w_1}{100} S = 40 - \frac{50 w_1}{100} \] Теперь выразим \( S \): \[ S = \frac{100}{w_1} \left( 40 - \frac{50 w_1}{100} \right) \] Раскроем скобки: \[ S = \frac{100}{w_1} \left( 40 - 0.5 w_1 \right) \] Заметим, что \( S = 200 + x \), а \( x \) — не важна, поскольку в условии нас интересует первоначальная массовая доля \( w_1 \). Чтобы понять, какую долю n мы ищем, отметим, что процесс позволяет вычислить \( w_1 \), и задача просит дать целое число в процентах для первоначальной доли. **Шаг 6: Итоговое вычисление** Так как \( S \) и \( w_1 \) связаны через: \[ S = \frac{100}{w_1}(40 - 0.5 w_1) \] при этом \( S > 0 \), а \( w_1 \) — доля в %, то есть \( 0 < w_1 < 100 \). Теперь рассмотрим границы. При \( w_1 \to 0 \), \( S \to \infty \); при \( w_1 \to 100 \), \( S \to 0 \). Исключая крайние случаи, попробуем подобрать целое число \( w_1 \). Почему бы не проверить несколько значений? Или заметить, что дано условие, что ответ — целое число. Подставим некоторые значения: - Для \( w_1 = 16 \): \[ S = \frac{100}{16} (40 - 0.5 \times 16) = \frac{100}{16} (40 - 8) = \frac{100}{16} \times 32 = \frac{100 \times 32}{16} = 100 \times 2 = 200 \] - Для \( w_1 = 20 \): \[ S = \frac{100}{20} (40 - 0.5 \times 20) = 5 \times (40 - 10) = 5 \times 30 = 150 \] - Для \( w_1 = 25 \): \[ S = \frac{100}{25} (40 - 12.5) = 4 \times 27.5 = 110 \] - Для \( w_1 = 40 \): \[ S = \frac{100}{40} (40 - 20) = 2.5 \times 20 = 50 \] Все эти значения получаются целыми числами и логичны. В условии говорится, что ответ записывается в процентах и является целым числом. **Вывод:** Наиболее разумным и легко проверяемым является вариант \( w_1 = 16 \)%, так как по расчетам получается удобно и ясно. **Ответ:** **Массовая доля исходного сульфата аммония — 16%.** --- **Итог:** **Массовая доля сульфата аммония в исходном растворе — 16%.**