Давайте разберём все шаги по порядку и подробно объясним решение задачи.
Условие задачи:
Выбирается случайное натуральное число от 1 до 12. Рассматриваются события:
- A — выбрано число, кратное 3
- C — выбрано число, не превосходящее 4
Нужно найти:
- ( P(A \cap C) ) — вероятность того, что выбранное число одновременно кратно 3 и не превышает 4.
- Проверить, равно ли ( P(A) \cdot P(C) ) значению 1/12.
- Определить, являются ли события A и C независимыми.
Шаг 1: Общие данные
Общее количество исходов: ( 12 ) — числа от 1 до 12.
Все исходы равновероятны, вероятность каждого равна ( 1/12 ).
Шаг 2: Найти ( P(A) )
Событие A — число, кратное 3.
Кратные 3 в диапазоне от 1 до 12:
( 3, 6, 9, 12 ).
Количество исходов: 4.
Вероятность:
[
P(A) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
]
Шаг 3: Найти ( P(C) )
Событие C — число, не превышающее 4.
Числа: 1, 2, 3, 4.
Количество исходов: 4.
Вероятность:
[
P(C) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
]
Шаг 4: Найти ( P(A \cap C) )
Это — вероятность того, что выбранное число одновременно кратно 3 и не превышает 4.
Только среди чисел от 1 до 12, кратные 3: 3, 6, 9, 12.
Из них, только число 3 не превышает 4.
Значит,
[
A \cap C: \text{число 3}
]
Количество таких исходов: 1.
Вероятность:
[
P(A \cap C) = \frac{1}{12}
]
Шаг 5: Проверка умножения вероятностей
Найдем ( P(A) \cdot P(C) ):
[
P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}
]
Но в ответе предложено — 1/12.
Все верно:
[
P(A \cap C) = \frac{1}{12}
]
а
[
P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{9}
]
Эти значения не равны, следовательно, события A и C не являются независимыми.
Итоговые ответы:
- ( P(A \cap C) = \frac{1}{12} )
- ( P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{9} \neq \frac{1}{12} )
- События A и C не являются независимыми.
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!
