Выбирается случайное натуральное число от 1 до 12 . Рассмотрим следующие события: A — выбрано число, кратное 3 . C — выбрано число, не превосходящее 4 . Найдите P(A∩C) . 1/3…

Давайте разберём все шаги по порядку и подробно объясним решение задачи.

Условие задачи:
Выбирается случайное натуральное число от 1 до 12. Рассматриваются события:

• A — выбрано число, кратное 3
• C — выбрано число, не превосходящее 4

Нужно найти:

1. \( P(A \cap C) \) — вероятность того, что выбранное число одновременно кратно 3 и не превышает 4.
2. Проверить, равно ли \( P(A) \cdot P(C) \) значению 1/12.
3. Определить, являются ли события A и C независимыми.

Шаг 1: Общие данные

Общее количество исходов: \( 12 \) — числа от 1 до 12.
Все исходы равновероятны, вероятность каждого равна \( 1/12 \).

Шаг 2: Найти \( P(A) \)

Событие A — число, кратное 3.
Кратные 3 в диапазоне от 1 до 12:
\( 3, 6, 9, 12 \).

Количество исходов: 4.
Вероятность:
\[ P(A) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Шаг 3: Найти \( P(C) \)

Событие C — число, не превышающее 4.
Числа: 1, 2, 3, 4.
Количество исходов: 4.
Вероятность:
\[ P(C) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Шаг 4: Найти \( P(A \cap C) \)

Это — вероятность того, что выбранное число одновременно кратно 3 и не превышает 4.

Только среди чисел от 1 до 12, кратные 3: 3, 6, 9, 12.

Из них, только число 3 не превышает 4.

Значит,
\[ A \cap C: \text{число 3} \]

Количество таких исходов: 1.

Вероятность:
\[ P(A \cap C) = \frac{1}{12} \]

Шаг 5: Проверка умножения вероятностей

Найдем \( P(A) \cdot P(C) \):

\[ P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \]

Но в ответе предложено — 1/12.

Все верно:
\[ P(A \cap C) = \frac{1}{12} \] а \[ P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{9} \]

Эти значения не равны, следовательно, события A и C не являются независимыми.

Итоговые ответы:

• \( P(A \cap C) = \frac{1}{12} \)
• \( P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{9} \neq \frac{1}{12} \)
• События A и C не являются независимыми.

Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!