Решить тригонометрическое неравенство √3ctgx - 3 < 0;

Здравствуйте! Давайте решим неравенство: \(\sqrt{3} \cot x - 3 < 0\). Цель — понять решение подробно и понятно. --- ### Шаг 1: Перепишем неравенство \(\sqrt{3} \cot x - 3 < 0\) Добавим 3 обеим частям: \(\sqrt{3} \cot x < 3\) Теперь разделим обе части на \(\sqrt{3}\): \(\cot x < \frac{3}{\sqrt{3}}\) Упростим правую часть: \(\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\) Итак, неравенство стало: \(\cot x < \sqrt{3}\) --- ### Шаг 2: Связь с функциями синуса и косинуса Знаем, что: \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\) и в основном, \(\cot x\) — это отношение косинуса к синусу. Интересно, когда \(\cot x = \sqrt{3}\)? Это означает: \(\frac{\cos x}{\sin x} = \sqrt{3}\) или \(\cos x = \sqrt{3} \sin x\) Это уже классические значения, связанные с известными углами. --- ### Шаг 3: Решение уравнения \(\cot x = \sqrt{3}\) Решим уравнение: \(\cot x = \sqrt{3}\) Это равно: \(\tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\) Значения \(\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}\) известны: \[ x = \arctan \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Это основные решения. --- ### Шаг 4: Интервал значений \(\cot x\) Нам нужно найти \(x\), для которых: \(\cot x < \sqrt{3}\) Поскольку \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\), и функции \(\cot x\) и \(\tan x\) связаны как функции взаимнообратные. Значения \(\cot x\): - На интервале \((0, \pi)\), \(\cot x\) убывает от +∞ (при \(x \to 0^+\)) до -∞ (при \(x \to \pi^-\)) - В диапазоне \([0, \pi]\), \(\cot x\) принимает все значения от +∞ до -∞ Следовательно, \(\cot x < \sqrt{3}\) будет верно при: - на интервале, где \(\cot x\) от \(\sqrt{3}\) до -∞ (по убыванию). --- ### Шаг 5: Анализ и решение неравенства Рассмотрим на интервале \((0, \pi)\): - В точке \(x = \frac{\pi}{6}\), \(\cot x = \sqrt{3}\). Поскольку \(\cot x\) убывает на \((0, \pi)\): - \(\cot x < \sqrt{3}\) при \(x > \frac{\pi}{6}\) - Иначе при \(x < \frac{\pi}{6}\). Пределы на данном интервале: - при \(x \to 0^+\), \(\cot x \to +\infty\), и, значит, \(\cot x > \sqrt{3}\), - при \(x \to \pi^-\), \(\cot x \to -\infty\), а также \(\cot x < \sqrt{3}\) Итак, на интервале \((0, \pi)\): \[ \cot x < \sqrt{3} \quad \text{при} \quad x \in (\frac{\pi}{6}, \pi) \] --- ### Шаг 6: Общий ответ Область решения: \[ x \in \left( \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} \right) \] То есть, на каждом интервале \((k \pi, (k+1) \pi)\), решением будет интервал, начинающийся с \(\frac{\pi}{6} + k \pi\) и до следующего \( (k+1) \pi \), потому что \(\cot x\) убывает с +∞ к -∞. --- ### Итоговая формулировка: \[ \boxed{ x \in \left( \frac{\pi}{6} + k\pi, (k+1)\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z} } \] На этих интервалах выполняется неравенство \(\sqrt{3} \cot x - 3 < 0\). --- Если что-то осталось непонятным — спрашивайте!