X1+5x-x3=-1 2x1+x2-2x3=7 X1-4x2+x3=0 Решение методом гаусса
Давайте решим систему уравнений методом Гаусса. В системе уравнений у вас есть три уравнения с переменными \( x_1, x_2, x_3 \):
\[ \begin{cases} x_1 + 5x_2 - x_3 = -1 \quad (1) \\ 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 7 \quad (2) \\ x_1 - 4x_2 + x_3 = 0 \quad (3) \end{cases} \]
Шаг 1: Представление системы в виде расширенной матрицы
Запишем расширенную матрицу системы:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & | & -1 \\ 2 & 1 & -2 & | & 7 \\ 1 & -4 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]
Шаг 2: Приведение матрицы к верхнетреугольному виду
Цель: сделать нуля под ведущим элементом в первом столбце (в первом столбце ведущий — 1 в первой строке).
- Для этого вычтем из второй строки 2 раза первую, из третьей — первую.
Обработка второй строки:
\[ L_2 \rightarrow L_2 - 2 \times L_1 \] \[ (2, 1, -2, | 7) - 2 \times (1, 5, -1, | -1) \] \[ (2 - 2 \times 1, 1 - 2 \times 5, -2 - 2 \times (-1), 7 - 2 \times (-1)) \] \[ (0, 1 - 10, -2 + 2, 7 + 2) \] \[ (0, -9, 0, 9) \]
Обработка третьей строки:
\[ L_3 \rightarrow L_3 - 1 \times L_1 \] \[ (1, -4, 1, | 0) - (1, 5, -1, | -1) \] \[ (0, -4 - 5, 1 - (-1), 0 - (-1)) \] \[ (0, -9, 2, 1) \]
Теперь матрица выглядит так:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & | & -1 \\ 0 & -9 & 0 & | & 9 \\ 0 & -9 & 2 & | & 1 \end{bmatrix} \]
Шаг 3: Обработка второго столбца
Нам нужно сделать ноль под ведущим элементом во второй строке (в позиции [2,2]), который равен \(-9\).
Разделим вторую строку на \(-9\), чтобы получить ведущий 1:
\[ L_2 \rightarrow \frac{L_2}{-9} \] \[ (0, -9, 0, | 9) \rightarrow (0, 1, 0, | -1) \]
Обновленная матрица:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & | & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & -9 & 2 & | & 1 \end{bmatrix} \]
Далее, используем вторую строку для нулей в позициях [3,2].
- Для третьей строки:
\[ L_3 \rightarrow L_3 + 9 \times L_2 \] \[ (0, -9, 2, | 1) + 9 \times (0, 1, 0, | -1) \] \[ (0, -9 + 9, 2 + 0, 1 + 9 \times (-1)) \] \[ (0, 0, 2, | 1 - 9) = (0, 0, 2, | -8) \]
Теперь матрица:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 5 & -1 & | & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 2 & | & -8 \end{bmatrix} \]
Шаг 4: Обратный ход — решение уравнений
- Из третьего уравнения:
\[ 2x_3 = -8 \Rightarrow x_3 = -4 \]
- Из второго уравнения:
\[ x_2 - 0 \times x_3 = -1 \Rightarrow x_2 = -1 \]
- Из первого уравнения:
\[ x_1 + 5x_2 - x_3 = -1 \] \[ x_1 + 5 \times (-1) - (-4) = -1 \] \[ x_1 - 5 + 4 = -1 \] \[ x_1 - 1 = -1 \Rightarrow x_1 = 0 \]
Ответ:
\[ \boxed{ x_1 = 0, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = -4 } \]
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить любой шаг, скажите!
