Вычислите площадь земли, отведенного под клумбу, периметр которого ограничивают линии у=x²-2х-2 и у=-x²+2. Выполните чертеж. Ответ укажите в квадратных метрах.

Давайте подробно разберем эту задачу.

Задача:
Вычислить площадь области, ограниченной двумя кривыми:

1. \( y = x^2 - 2x - 2 \)
2. \( y = -x^2 + 2 \)

Также нужно выполнить чертеж и найти площадь этой области в квадратных метрах.

---

Шаг 1. Построение графиков и нахождение точек пересечения

Найдем точки пересечения двух кривых, решая уравнение:

\[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \]

Перенесем все в левую часть:
\[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \]
\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]

Сделаем общий множитель:
\[ 2(x^2 - x - 2) = 0 \]

Разделим обе части на 2:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Это квадратичное уравнение, решим его:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решение:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \]

\[ \sqrt{9} = 3 \]

Тогда:
\[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \]

• Для плюса:
  \[ x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]

• Для минуса:
  \[ x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

Теперь найдем соответствующие \( y \):

• Для \( x = 2 \):
  \[ y = - (2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2 \]

• Для \( x = -1 \):
  Подставим в любую из кривых (например, в первую):
  \[ y = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 2 = 1 + 2 - 2 = 1 \]

Итак, точки пересечения:
\[ (-1, 1), \quad (2, -2) \]

---

Шаг 2. Построение графика

• Кривая \( y = x^2 - 2x - 2 \) — парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( x = 1 \).

  Вершина:
  \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1 \]

  Подставим для \( y \):
  \[ y_{вершина} = (1)^2 - 2 \cdot 1 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3 \]

  Значит, вершина: \((1, -3)\).

• Вторая кривая \( y = -x^2 + 2 \) — является параболой, открытой вниз, с вершиной в \( (0, 2) \).

Шаг 3. Область ограничена кривыми между точками пересечения

Область — между точками \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

Для определения, какая кривая сверху, а какая снизу, подставим точку между интервалом, например, \( x=0 \):

• \( y_1 = 0^2 - 2 \cdot 0 - 2 = -2 \)
• \( y_2 = -0^2 + 2 = 2 \)

Поскольку \( y_2 > y_1 \), черчение показывает, что в интервале между — это:

• сверху: \( y = -x^2 + 2 \)
• снизу: \( y = x^2 - 2x - 2 \)

Шаг 4. Вычисление площади области

Площадь между кривыми на интервале \( x \in [-1, 2] \):

\[ S = \int_{-1}^{2} \big( y_{верх} - y_{низ} \big) dx \]

где:

• \( y_{верх} = -x^2 + 2 \),
• \( y_{низ} = x^2 - 2x - 2 \).

Тогда:

\[ S = \int_{-1}^{2} [(-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)] dx \]

Раскроем скобки:

\[ S = \int_{-1}^{2} \left( -x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2 \right) dx \]

Объединим подобные:

\[ S = \int_{-1}^{2} \left( -2x^2 + 2x + 4 \right) dx \]

Шаг 5. Вычисление интеграла

Рассчитаем по частям:

\[ S = \int_{-1}^{2} -2x^2 dx + \int_{-1}^{2} 2x dx + \int_{-1}^{2} 4 dx \]

• \( \int -2x^2 dx = -2 \cdot \frac{x^3}{3} = - \frac{2}{3} x^3 \)
• \( \int 2x dx = x^2 \)
• \( \int 4 dx = 4x \)

Теперь подставим пределы:

\[ S = \left[ -\frac{2}{3} x^3 \right]_{-1}^{2} + \left[ x^2 \right]_{-1}^{2} + \left[ 4x \right]_{-1}^{2} \]

Вычислим по отдельности:

1. \( -\frac{2}{3} (2)^3 - \left( -\frac{2}{3}(-1)^3 \right) = -\frac{2}{3} \cdot 8 - \left( -\frac{2}{3} \cdot (-1) \right) = -\frac{16}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{16}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{14}{3} \)

2. \( (2)^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 \)

3. \( 4 \cdot 2 - 4 \cdot (-1) = 8 + 4 = 12 \)

Теперь сложим все:

\[ S = -\frac{14}{3} + 3 + 12 \]

Запишем все с общим знаменателем 3:

\[ S = -\frac{14}{3} + \frac{9}{3} + \frac{36}{3} = \frac{-14 + 9 + 36}{3} = \frac{31}{3} \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{31}{3} \text{ квадратных метров} } \]

или приблизительно 10.33 м².

---

Краткое резюме:

• Найдены точки пересечения кривых: \((-1, 1)\) и \( (2, -2)\).
• Область ограничена кривыми между этими точками.
• Площадь области равна \(\frac{31}{3}\) м².

Если нужно, я также могу помочь с чертежом или дополнительно объяснить любой шаг!