Вычислите площадь земли, отведенного под клумбу, периметр которого ограничивают линии у=x²-2х-2 и у=-x²+2. Выполните чертеж. Ответ укажите в квадратных метрах.

Давайте подробно разберем эту задачу. **Задача:** Вычислить площадь области, ограниченной двумя кривыми: 1. \( y = x^2 - 2x - 2 \) 2. \( y = -x^2 + 2 \) Также нужно выполнить чертеж и найти площадь этой области в квадратных метрах. --- ### Шаг 1. Построение графиков и нахождение точек пересечения #### Найдем точки пересечения двух кривых, решая уравнение: \[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \] Перенесем все в левую часть: \[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \] \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \] Сделаем общий множитель: \[ 2(x^2 - x - 2) = 0 \] Разделим обе части на 2: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Это квадратичное уравнение, решим его: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Решение: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ \sqrt{9} = 3 \] Тогда: \[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \] - Для плюса: \[ x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] - Для минуса: \[ x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Теперь найдем соответствующие \( y \): - Для \( x = 2 \): \[ y = - (2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2 \] - Для \( x = -1 \): Подставим в любую из кривых (например, в первую): \[ y = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 2 = 1 + 2 - 2 = 1 \] Итак, точки пересечения: \[ (-1, 1), \quad (2, -2) \] --- ### Шаг 2. Построение графика - Кривая \( y = x^2 - 2x - 2 \) — парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( x = 1 \). Вершина: \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1 \] Подставим для \( y \): \[ y_{вершина} = (1)^2 - 2 \cdot 1 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3 \] Значит, вершина: \((1, -3)\). - Вторая кривая \( y = -x^2 + 2 \) — является параболой, открытой вниз, с вершиной в \( (0, 2) \). ### Шаг 3. Область ограничена кривыми между точками пересечения Область — между точками \( x = -1 \) и \( x = 2 \). Для определения, какая кривая сверху, а какая снизу, подставим точку между интервалом, например, \( x=0 \): - \( y_1 = 0^2 - 2 \cdot 0 - 2 = -2 \) - \( y_2 = -0^2 + 2 = 2 \) Поскольку \( y_2 > y_1 \), черчение показывает, что в интервале между — это: - сверху: \( y = -x^2 + 2 \) - снизу: \( y = x^2 - 2x - 2 \) ### Шаг 4. Вычисление площади области Площадь между кривыми на интервале \( x \in [-1, 2] \): \[ S = \int_{-1}^{2} \big( y_{верх} - y_{низ} \big) dx \] где: - \( y_{верх} = -x^2 + 2 \), - \( y_{низ} = x^2 - 2x - 2 \). Тогда: \[ S = \int_{-1}^{2} [(-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)] dx \] Раскроем скобки: \[ S = \int_{-1}^{2} \left( -x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2 \right) dx \] Объединим подобные: \[ S = \int_{-1}^{2} \left( -2x^2 + 2x + 4 \right) dx \] ### Шаг 5. Вычисление интеграла Рассчитаем по частям: \[ S = \int_{-1}^{2} -2x^2 dx + \int_{-1}^{2} 2x dx + \int_{-1}^{2} 4 dx \] - \( \int -2x^2 dx = -2 \cdot \frac{x^3}{3} = - \frac{2}{3} x^3 \) - \( \int 2x dx = x^2 \) - \( \int 4 dx = 4x \) Теперь подставим пределы: \[ S = \left[ -\frac{2}{3} x^3 \right]_{-1}^{2} + \left[ x^2 \right]_{-1}^{2} + \left[ 4x \right]_{-1}^{2} \] Вычислим по отдельности: 1. \( -\frac{2}{3} (2)^3 - \left( -\frac{2}{3}(-1)^3 \right) = -\frac{2}{3} \cdot 8 - \left( -\frac{2}{3} \cdot (-1) \right) = -\frac{16}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{16}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{14}{3} \) 2. \( (2)^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 \) 3. \( 4 \cdot 2 - 4 \cdot (-1) = 8 + 4 = 12 \) Теперь сложим все: \[ S = -\frac{14}{3} + 3 + 12 \] Запишем все с общим знаменателем 3: \[ S = -\frac{14}{3} + \frac{9}{3} + \frac{36}{3} = \frac{-14 + 9 + 36}{3} = \frac{31}{3} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{31}{3} \text{ квадратных метров} } \] или приблизительно **10.33 м²**. --- ### **Краткое резюме:** - Найдены точки пересечения кривых: \((-1, 1)\) и \( (2, -2)\). - Область ограничена кривыми между этими точками. - Площадь области равна \(\frac{31}{3}\) м². Если нужно, я также могу помочь с чертежом или дополнительно объяснить любой шаг!