³√100 * (√2)^8/3 *(1/5)^5/3

Давайте подробно разберем выражение: \[ \sqrt[3]{100} \times (\sqrt{2})^{8/3} \times \left(\frac{1}{5}\right)^{5/3} \] **Шаг 1: Запись в виде степеней с дробным показателем** - \(\sqrt[3]{100} = 100^{1/3}\) - \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\), значит \((\sqrt{2})^{8/3} = (2^{1/2})^{8/3} = 2^{(1/2) \times (8/3)}\) - \(\left(\frac{1}{5}\right)^{5/3} = 5^{-5/3}\) (так как \(\frac{1}{5} = 5^{-1}\)) **Шаг 2: Упростим каждый член** - \(100^{1/3}\) Запишем \(100=10^2\), тогда \[ 100^{1/3} = (10^2)^{1/3} = 10^{2/3} \] - \((\sqrt{2})^{8/3}\) \[ 2^{(1/2) \times (8/3)} = 2^{8/6} = 2^{4/3} \] - \(\left(\frac{1}{5}\right)^{5/3} = 5^{-5/3}\) **Шаг 3: Перепишем всё вместе** \[ 10^{2/3} \times 2^{4/3} \times 5^{-5/3} \] Обратите внимание, что 10 можно представить через 2 и 5: \[ 10 = 2 \times 5 \] Тогда \[ 10^{2/3} = (2 \times 5)^{2/3} = 2^{2/3} \times 5^{2/3} \] Получается, исходное выражение — это произведение: \[ (2^{2/3} \times 5^{2/3}) \times 2^{4/3} \times 5^{-5/3} \] **Шаг 4: Соберем по одинаковым основаниям** Объединим степени с одинаковыми основаниями: - Для основания 2: \[ 2^{2/3} \times 2^{4/3} = 2^{(2/3 + 4/3)} = 2^{6/3} = 2^{2} = 4 \] - Для основания 5: \[ 5^{2/3} \times 5^{-5/3} = 5^{(2/3 - 5/3)} = 5^{-3/3} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \] **Шаг 5: Итоговое выражение** Получается: \[ 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{4}{5}}\)