Установите соответствие между характером монотонности и выпуклости функции y = -х3 +1,5x2 +6х -2 и интервалами из области её определения: При х€( 0; 1,5) Ответ 1 Выберите... При…
Установите соответствие между характером монотонности и выпуклости функции y = -х3 +1,5x2 +6х -2 и интервалами из области её определения: При х€( 0; 1,5) Ответ 1 Выберите... При х€(-2; 0) Ответ 2 Выберите... При х€(-10; -1,5) Ответ 3 Выберите... При х€( 1; 10)
Давайте разберемся с задачей по порядку.
Нам дана функция:
\[ y = -x^3 + 1.5x^2 + 6x - 2 \]
и нужно установить соответствие между её характером монотонности (возрастание или убывание) и выпуклостью (выпуклая или вогнутая) на различных интервалах.
Шаг 1. Найти первую и вторую производные функции
Первая производная \( y' \):
\[ y' = \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 3x + 6 \]
Вторая производная \( y'' \):
\[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = -6x + 3 \]
Шаг 2. Анализ первой производной \( y' \)
Определим, где функция возрастает или убывает:
- функция возрастает, если \( y' > 0 \)
- убывает, если \( y' < 0 \)
Найдем корни \( y' = 0 \):
\[ -3x^2 + 3x + 6 = 0 \]
или умножим на -1 для удобства:
\[ 3x^2 - 3x - 6 = 0 \]
Делим обе части на 3:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Решаем квадратичное уравнение:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \]
\[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Получаем два корня:
- \( x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
- \( x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)
Теперь определим знаки \( y' \) на интервалах: \(-\infty, -1\), \(-1, 2\), \(2, \infty\).
Подставим значения в \( y' \):
для \( x = -2 \):
\[ y'(-2) = -3 \times 4 + 3 \times (-2) + 6 = -12 - 6 + 6 = -12 \]
— функция убывает на \((-\infty, -1)\),для \( x=0 \):
\[ y'(0) = 0 + 0 + 6 = 6 \]
— функция возрастает на \((-1, 2)\),для \( x=3 \):
\[ y'(3) = -3 \times 9 + 3 \times 3 + 6 = -27 + 9 + 6 = -12 \]
— функция убывает на \((2, \infty)\).
Шаг 3. Анализ второй производной \( y'' \)
Определяет выпуклость:
- \( y'' > 0 \) — функция выпуклая (выступает вверх)
- \( y'' < 0 \) — вогнутая (выступает вниз)
Найдем знак \( y'' = -6x + 3 \):
- \( -6x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{6} = 0.5 \)
Значит:
- для \( x < 0.5 \), \( y'' > 0 \) — функция выпуклая
- для \( x > 0.5 \), \( y'' < 0 \) — функция вогнутая
Итоги по интервалам:
| Интервал | Монотонность | Выпуклость |
|---|---|---|
| \( (0; 1.5) \) | Возрастает (от -1 до 2; на \( (0,1.5) \) — возрастает) | Вогнутая (так как \( x > 0.5 \)) |
| \( (-2; 0) \) | Убывает (до -1), затем — возрастает — в общем, на \( (-2, 0) \) преимущественно убывает) | Выпуклая (так как \( x < 0.5 \)) |
| \( (-10; -1.5) \) | Убывает (до -1), так как там \( y' < 0 \)) | Выпуклая (так как \( x < 0.5 \)) |
| \( (1; 10) \) | Убывает (после 2 в убывающем сегменте), на \((1, 2)\) возрастает? — Да, после -1 до 2 — возрастает, после — убывает | Вогнутая (так как \( x > 0.5 \)) |
Итоговые соответствия:
- \( x \in (0, 1.5) \): функция возрастает, вогнутая
- \( x \in (-2, 0) \): функция убывает, выпуклая
- \( x \in (-10, -1.5) \): функция убывает, выпуклая
- \( x \in (1, 10) \): функция убывает, вогнутая
Ответы:
1. \( (0; 1.5) \) — Возрастание, вогнутая
2. \( (-2; 0) \) — Убывание, выпуклая
3. \( (-10; -1.5) \) — Убывание, выпуклая
4. \( (1; 10) \) — Убывание, вогнутая
Если нужно выбрать конкретные параметры для ответа, то лучше так:
- при \( x \in (0, 1.5) \) — функция возрастает и вогнутая
- при \( x \in (-2, 0) \) — убывает и выпуклая
- при \( x \in (-10, -1.5) \) — убывает и выпуклая
- при \( x \in (1, 10) \) — убывает и вогнутая
Пожалуйста, укажите, хотите ли вы точные слова («возрастает, вогнутая» и т.п.) или нужно оформить ответ в виде соответствия (например:1 — ..., 2 — ...).
