Установите соответствие между характером монотонности и выпуклости функции y = -х3 +1,5x2 +6х -2 и интервалами из области её определения: При х€( 0; 1,5) Ответ 1 Выберите... При х€(-2; 0) Ответ 2 Выберите... При х€(-10; -1,5) Ответ 3 Выберите... При х€( 1; 10)

Давайте разберемся с задачей по порядку. Нам дана функция: \[ y = -x^3 + 1.5x^2 + 6x - 2 \] и нужно установить соответствие между её характером монотонности (возрастание или убывание) и выпуклостью (выпуклая или вогнутая) на различных интервалах. ### Шаг 1. Найти первую и вторую производные функции **Первая производная \( y' \):** \[ y' = \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 3x + 6 \] **Вторая производная \( y'' \):** \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = -6x + 3 \] ### Шаг 2. Анализ первой производной \( y' \) Определим, где функция возрастает или убывает: - функция возрастает, если \( y' > 0 \) - убывает, если \( y' < 0 \) **Найдем корни \( y' = 0 \):** \[ -3x^2 + 3x + 6 = 0 \] или умножим на -1 для удобства: \[ 3x^2 - 3x - 6 = 0 \] Делим обе части на 3: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Решаем квадратичное уравнение: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \] Получаем два корня: - \( x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) - \( x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) Теперь определим знаки \( y' \) на интервалах: \(-\infty, -1\), \(-1, 2\), \(2, \infty\). Подставим значения в \( y' \): - для \( x = -2 \): \[ y'(-2) = -3 \times 4 + 3 \times (-2) + 6 = -12 - 6 + 6 = -12 \] — функция убывает на \((-\infty, -1)\), - для \( x=0 \): \[ y'(0) = 0 + 0 + 6 = 6 \] — функция возрастает на \((-1, 2)\), - для \( x=3 \): \[ y'(3) = -3 \times 9 + 3 \times 3 + 6 = -27 + 9 + 6 = -12 \] — функция убывает на \((2, \infty)\). ### Шаг 3. Анализ второй производной \( y'' \) Определяет выпуклость: - \( y'' > 0 \) — функция выпуклая (выступает вверх) - \( y'' < 0 \) — вогнутая (выступает вниз) Найдем знак \( y'' = -6x + 3 \): - \( -6x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{6} = 0.5 \) Значит: - для \( x < 0.5 \), \( y'' > 0 \) — функция выпуклая - для \( x > 0.5 \), \( y'' < 0 \) — функция вогнутая ### Итоги по интервалам: | Интервал | Монотонность | Выпуклость | |----------------------------|------------------|------------------------| | \( (0; 1.5) \) | Возрастает (от -1 до 2; на \( (0,1.5) \) — возрастает) | Вогнутая (так как \( x > 0.5 \)) | | \( (-2; 0) \) | Убывает (до -1), затем — возрастает — в общем, на \( (-2, 0) \) преимущественно убывает) | Выпуклая (так как \( x < 0.5 \)) | | \( (-10; -1.5) \) | Убывает (до -1), так как там \( y' < 0 \)) | Выпуклая (так как \( x < 0.5 \)) | | \( (1; 10) \) | Убывает (после 2 в убывающем сегменте), на \((1, 2)\) возрастает? — Да, после -1 до 2 — возрастает, после — убывает | Вогнутая (так как \( x > 0.5 \)) | ### Итоговые соответствия: - \( x \in (0, 1.5) \): функция **возрастает**, **вогнутая** - \( x \in (-2, 0) \): функция **убывает**, **выпуклая** - \( x \in (-10, -1.5) \): функция **убывает**, **выпуклая** - \( x \in (1, 10) \): функция **убывает**, **вогнутая** --- ### Ответы: **1. \( (0; 1.5) \)** — Возрастание, вогнутая **2. \( (-2; 0) \)** — Убывание, выпуклая **3. \( (-10; -1.5) \)** — Убывание, выпуклая **4. \( (1; 10) \)** — Убывание, вогнутая Если нужно выбрать конкретные параметры для ответа, то лучше так: - при \( x \in (0, 1.5) \) — функция возрастает и вогнутая - при \( x \in (-2, 0) \) — убывает и выпуклая - при \( x \in (-10, -1.5) \) — убывает и выпуклая - при \( x \in (1, 10) \) — убывает и вогнутая Пожалуйста, укажите, хотите ли вы точные слова («возрастает, вогнутая» и т.п.) или нужно оформить ответ в виде соответствия (например:1 — ..., 2 — ...).