Решите неравенство

Давайте решим неравенство: \[ 4^x - 12 \cdot 2^x + 3 \geq 0 \] Шаг 1. Введем замену переменных для упрощения. Обозначим \( y = 2^x \). Тогда \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2 \). Неконинающаяся часть неравенства: \[ 4^x = y^2 \] Подставляем: \[ y^2 - 12 y + 3 \geq 0 \] Теперь у нас квадратичное неравенство относительно \( y \). Шаг 2. Решим квадратное неравенство: \[ y^2 - 12 y + 3 \geq 0 \] Для этого найдем корни уравнения: \[ y^2 - 12 y + 3 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 144 - 12 = 132 \] Корни: \[ y_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2} \] Упростим: \[ \sqrt{132} = \sqrt{4 \cdot 33} = 2 \sqrt{33} \] Тогда: \[ y_{1,2} = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2} = 6 \pm \sqrt{33} \] --- Шаг 3. Анализ знаков квадратичной функции. Так как коэффициент перед \( y^2 \) положительный (1), то парабола открыта вверх. Значит, неравенство \( y^2 - 12 y + 3 \geq 0 \) выполнится при: \[ y \leq y_1 = 6 - \sqrt{33} \quad \text{или} \quad y \geq y_2 = 6 + \sqrt{33} \] --- Шаг 4. Возвращение к переменной \( x \): Помним, что \( y = 2^x \). Область определения для \( y \): \( y > 0 \). Проверим, что оба корня положительны: - \( 6 - \sqrt{33} \): \(\sqrt{33} \approx 5.7446\), \( 6 - 5.7446 \approx 0.2554 > 0 \). - \( 6 + \sqrt{33} \approx 6 + 5.7446 = 11.7446 > 0 \). Итак, оба интервала допустимы. Теперь: \[ 2^x \leq 6 - \sqrt{33} \ \text{или} \ 2^x \geq 6 + \sqrt{33} \] Но так как \( 2^x > 0 \), не можем рассматривать отрицательные значения. --- Шаг 5. Перепишем неравенство: \[ \begin{cases} 2^x \leq 6 - \sqrt{33} \\ 2^x \geq 6 + \sqrt{33} \end{cases} \] Рассматриваем каждое отдельно: - Для \( 2^x \leq 6 - \sqrt{33} \). Так как \( 6 - \sqrt{33} \approx 0.2554 \), то: \[ 2^x \leq 0.2554 \] Применим логарифм с основанием 2: \[ x \leq \log_2(0.2554) \] Вычислим: \[ \log_2(0.2554) \approx -1.97 \] - Для \( 2^x \geq 6 + \sqrt{33} \approx 11.7446 \), \[ x \geq \log_2(11.7446) \] Вычислим: \(\log_2(11.7446) \approx 3.55\) --- **Ответ:** \[ \boxed{ x \leq \log_2(6 - \sqrt{33}) \approx -1.97 \quad \text{или} \quad x \geq \log_2(6 + \sqrt{33}) \approx 3.55 } \] Или, в интервалах: \[ \boxed{ (-\infty,\; -1.97] \cup [3.55,\; +\infty) } \] Если нужно точное выражение: \[ x \leq \log_2(6 - \sqrt{33}) \quad \text{или} \quad x \geq \log_2(6 + \sqrt{33}) \] Пожалуйста, уточните, если нужно оставить в форме с логарифмами.