Решите неравенство

Давайте решим неравенство:
\[ 4^x - 12 \cdot 2^x + 3 \geq 0 \]

Шаг 1. Введем замену переменных для упрощения.
Обозначим \( y = 2^x \). Тогда \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2 \).

Неконинающаяся часть неравенства:
\[ 4^x = y^2 \]

Подставляем:
\[ y^2 - 12 y + 3 \geq 0 \]

Теперь у нас квадратичное неравенство относительно \( y \).

Шаг 2. Решим квадратное неравенство:
\[ y^2 - 12 y + 3 \geq 0 \]

Для этого найдем корни уравнения:
\[ y^2 - 12 y + 3 = 0 \]

Используем дискриминант:
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 144 - 12 = 132 \]

Корни:
\[ y_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{132}}{2} \]

Упростим:
\[ \sqrt{132} = \sqrt{4 \cdot 33} = 2 \sqrt{33} \]

Тогда:
\[ y_{1,2} = \frac{12 \pm 2 \sqrt{33}}{2} = 6 \pm \sqrt{33} \]

Шаг 3. Анализ знаков квадратичной функции.

Так как коэффициент перед \( y^2 \) положительный (1), то парабола открыта вверх.

Значит, неравенство \( y^2 - 12 y + 3 \geq 0 \) выполнится при:
\[ y \leq y_1 = 6 - \sqrt{33} \quad \text{или} \quad y \geq y_2 = 6 + \sqrt{33} \]

Шаг 4. Возвращение к переменной \( x \):

Помним, что \( y = 2^x \).

Область определения для \( y \): \( y > 0 \).
Проверим, что оба корня положительны:

• \( 6 - \sqrt{33} \):
  \(\sqrt{33} \approx 5.7446\),
  \( 6 - 5.7446 \approx 0.2554 > 0 \).

• \( 6 + \sqrt{33} \approx 6 + 5.7446 = 11.7446 > 0 \).

Итак, оба интервала допустимы.

Теперь:
\[ 2^x \leq 6 - \sqrt{33} \ \text{или} \ 2^x \geq 6 + \sqrt{33} \]

Но так как \( 2^x > 0 \), не можем рассматривать отрицательные значения.

Шаг 5. Перепишем неравенство:
\[ \begin{cases} 2^x \leq 6 - \sqrt{33} \\ 2^x \geq 6 + \sqrt{33} \end{cases} \]

Рассматриваем каждое отдельно:

• Для \( 2^x \leq 6 - \sqrt{33} \).
  Так как \( 6 - \sqrt{33} \approx 0.2554 \), то:
  \[ 2^x \leq 0.2554 \]

Применим логарифм с основанием 2:
\[ x \leq \log_2(0.2554) \]

Вычислим:
\[ \log_2(0.2554) \approx -1.97 \]

• Для \( 2^x \geq 6 + \sqrt{33} \approx 11.7446 \),
  \[ x \geq \log_2(11.7446) \]

Вычислим:
\(\log_2(11.7446) \approx 3.55\)

Ответ:

\[ \boxed{ x \leq \log_2(6 - \sqrt{33}) \approx -1.97 \quad \text{или} \quad x \geq \log_2(6 + \sqrt{33}) \approx 3.55 } \]

Или, в интервалах:
\[ \boxed{ (-\infty,\; -1.97] \cup [3.55,\; +\infty) } \]

Если нужно точное выражение:
\[ x \leq \log_2(6 - \sqrt{33}) \quad \text{или} \quad x \geq \log_2(6 + \sqrt{33}) \]

Пожалуйста, уточните, если нужно оставить в форме с логарифмами.