Решите неравенство
Рассмотрим неравенство: \[ \log_{a}(x - 3.5) + \log_{a}(x - 2) < 1 \] Предположим, что основание логарифма \(a > 0\) и \(a \neq 1\). Обычно в подобных задачах предполагается, что логарифмы — с основанием 10 или натуральные, что не меняет подход, так как логарифмы с одинаковым основанием. В случае отсутствия явного указания можем понять, что речь идет о логарифмах с одинаковым основанием \(a > 0\), \(a \neq 1\).
Шаг 1. Условия определения логарифмов
\[ x - 3.5 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 3.5 \] \[ x - 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 2 \] Так как обе логарифмы — сумму, то их сумма определена при: \[ x > 3.5 \] (так как это более строгое условие).
Шаг 2. Использование свойства логарифмов
Используем свойство: \[ \log_{a} m + \log_{a} n = \log_{a} (mn) \] Переходим к выражению: \[ \log_{a} [(x - 3.5)(x - 2)] < 1 \] Теперь упростим:
Шаг 3. Перепишем неравенство
\[ \log_{a} [(x - 3.5)(x - 2)] < 1 \] Если основание \(a > 1\), то неравенство сохраняет знак при возведении в степень. Перепишем:
\[ (x - 3.5)(x - 2) < a^{1} \] или \[ (x - 3.5)(x - 2) < a \]
Если же основание \(0 < a < 1\), то знак неравенства поменяется при возведении — это важно учитывать.
Шаг 4. Анализ по основанию \(a\)
Поскольку в условии не указано конкретное основание, предположим, что \(a > 1\). В таком случае: \[ (x - 3.5)(x - 2) < a \]
И далее решаем неравенство:
\[ (x - 3.5)(x - 2) < a \]
Шаг 5. Раскроем скобки
\[ x^{2} - (3.5 + 2)x + 3.5 \times 2 < a \] \[ x^{2} - 5.5x + 7 < a \] Перенесем \(a\) в левую часть:
\[ x^{2} - 5.5x + 7 - a < 0 \]
Обозначим:
\[ f(x) = x^{2} - 5.5x + (7 - a) \]
Нам нужно найти такие значения \(x\), при которых \(f(x) < 0\).
Шаг 6. Анализ квадратичной функции
Квадратичная функция: \[ f(x) = x^{2} - 5.5x + (7 - a) \]
Дискриминант:
\[ D = (5.5)^2 - 4 \times 1 \times (7 - a) = 30.25 - 4(7 - a) \] \[ D = 30.25 - 28 + 4a = 2.25 + 4a \]
Так как \(a > 1\), то:
\[ D = 2.25 + 4a > 0 \]
Значит, у квадратичной функции есть два вещественных корня:
\[ x_{1,2} = \frac{5.5 \pm \sqrt{D}}{2} \]
Шаг 7. Условие \(f(x) < 0\)
Квадратичная функция имеет ветви, открывающиеся вверх (коэффициент перед \(x^{2}\) положителен). Внутри — между корнями, то есть:
\[ x \in (x_1, x_2) \]
где
\[ x_{1,2} = \frac{5.5 \pm \sqrt{2.25 + 4a}}{2} \]
Шаг 8. Условие области допустимых значений
Также помним, что из определения логарифмов:
\[ x > 3.5 \]
Потому что:
\[ x > 3.5 \]
Итоговая ответная зона
Область решения — это часть интервала \((x_1, x_2)\), которая лежит в области допустимых значений \(x > 3.5\):
\[ x \in ( \max(3.5, x_1), x_2 ) \]
Если \(x_1 < 3.5 < x_2\), то решение:
\[ x \in (3.5, x_2) \]
Если \(x_1 > 3.5\), то:
\[ x \in (x_1, x_2) \]
Ответ:
При условии, что основание логарифма \(a > 1\), решение неравенства:
\[ x \in (x_0, x_2), \quad \text{где} \quad x_{1,2} = \frac{5.5 \pm \sqrt{2.25 + 4a}}{2} \]
с учетом области определения:
\[ x > 3.5 \]
то есть итог:
\[ x \in (\max(3.5, x_1), x_2) \]
Если потребуется, я могу дополнительно рассмотреть случай, когда \(0 < a < 1\).
