Корень 25-x2=7-x решить

Конечно! Решим уравнение: \(\sqrt{25 - x^2} = 7 - x\). Шаг 1. Анализ уравнения Уравнение содержит корень: \(\sqrt{25 - x^2}\), и правую часть: \(7 - x\). Чтобы решить уравнение, лучше избавиться от знака корня — возьмем в обе части уравнения квадрат. Но прежде нужно учитывать, что квадрат обеих сторон — это операция, которая может ввести лишние решения, поэтому нужно проверять полученные решения. Шаг 2. Условие доминостльности Так как под корнем стоит выражение \(25 - x^2\), оно должно быть неотрицательным: \[25 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 25 \implies -5 \le x \le 5.\] Также правая часть \(\sqrt{25 - x^2}\) всегда неотрицательна, поэтому и правая часть \(7 - x\) должна быть неотрицательной: \[7 - x \ge 0 \implies x \le 7.\] Это условие автоматически выполнится при \(-5 \le x \le 5\). Итак, всех решений ищем в интервале \([-5, 5]\). Шаг 3. Возьмем квадрат обеих частей уравнения \(\sqrt{25 - x^2} = 7 - x\) возводим в квадрат: \[(\sqrt{25 - x^2})^2 = (7 - x)^2\] \[25 - x^2 = (7 - x)^2\] Раскроем квадрат: \[(7 - x)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot x + x^2 = 49 - 14x + x^2\] Подставим обратно: \[25 - x^2 = 49 - 14x + x^2\] Шаг 4. Решаем полученное уравнение Перенесем все в левую сторону: \[25 - x^2 - 49 + 14x - x^2 = 0\] Объединим подобные члены: \[(25 - 49) + 14x - x^2 - x^2 = 0\] \[-24 + 14x - 2x^2 = 0\] Перепишем уравнение в стандартной форме: \(-2x^2 + 14x - 24 = 0\) Делим все уравнение на -2 для удобства: \[x^2 - 7x + 12 = 0\] Шаг 5. Решение квадратичного уравнения Используем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\] Корни: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}\] Следовательно, два корня: - \(x_1 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\) - \(x_2 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\) Шаг 6. Проверка решений в исходном уравнении Нужно проверить оба значения \(x\) в первоначальном уравнении \(\sqrt{25 - x^2} = 7 - x\), потому что при возведении в квадрат могли появиться лишние решения. Для \(x = 4\): Левое: \(\sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\) Правое: \(7 - 4 = 3\) Равно! Значит, \(x=4\) — решение. Для \(x=3\): Левое: \(\sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\) Правое: \(7 - 3 = 4\) Равно! Значит, \(x=3\) — решение. Обратите внимание, что оба решения удовлетворяют условию ненегативности праой части, а также исходное уравнение. **Ответ:** \(\boxed{ x = 3 \quad \text{или} \quad x = 4 }\) Если есть еще вопросы, — указывайте!