Построить график функции:** \[ y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \]

Конечно! Ниже приведено подробное объяснение и пошаговое решение для построения графика функции: --- ### Задача: Построить график функции: \[ y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \] --- ### Шаг 1: Анализ функции - Это функция вида \( y = a \cos x + b \), где: - Амплитуда \( |a| = \frac{1}{2} \), - Вертикальный сдвиг \( b = 3 \), - Коэффициент перед косинусом влияет на «колебания» графика, - Период функции \( T = 2\pi / |a| \). ### Шаг 2: Основные свойства - **Амплитуда:** \( \left| \frac{1}{2} \right| = 0.5 \). Это значит, что график колеблется на 0.5 по вертикали относительно своей средней линии. - **Вертикальный сдвиг:** \( +3 \). График «поднят» вверх на 3 относительно базового графика \( y = \cos x \). - **Период:** Стандартный косинус имеет период \( 2\pi \). Поскольку у нас коэффициент \( a = \frac{1}{2} \), диапазон изменения функции не влияет на период, так как период зависит только от \( x \). Поэтому период остаётся \( 2\pi \). ### Шаг 3: Построение основных точек - **Ключевые точки для \( \cos x \):** \[ \begin{cases} x=0, & y = \frac{1}{2} \cdot 1 + 3 = 0.5 + 3 = 3 \\ x=\pi/2, & y= \frac{1}{2} \cdot 0 + 3= 3 \\ x=\pi, & y= \frac{1}{2} \cdot (-1) +3= -0.5 +3= 2.5 \\ x= 3\pi/2, & y= 0 +3= 3 \\ x=2\pi, & y= 1 +3=4 \end{cases} \] - **Основные точки для отрицательных \( x \), например, \( x=-\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi \)**: Аналогично, так как косинус — чёткая, симметричная функция. ### Шаг 4: Построение графика 1. Нарисуйте систему координат. 2. Обозначьте ось \( x \) с диапазоном примерно от \(-2\pi\) до \(2\pi\) для хорошего отображения. 3. Отметьте ключевые точки, полученные выше. 4. Соедините эти точки плавной синусоидальной линией, учитывая, что график колеблется с амплитудой 0.5 вокруг линии \( y=3 \). ### Шаг 5: Важные особенности графика - Максимум достигается при \( \cos x = 1 \), то есть, при \( x = 2k\pi \), где \(k\) — целое число. Тогда: \[ y_{max} = 0.5 + 3 = 3.5 \] - Минимум достигается при \( \cos x = -1 \), то есть, при \( x = (2k+1)\pi \): \[ y_{min} = -0.5 + 3 = 2.5 \] - Средняя линия — это вертикально сдвинутая ось: линии \( y=3 \). --- ### Итог: График функции \( y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \) — это косинусоида со средней линией на уровне \( y=3 \), высотой амплитуды 0.5, периодом \( 2\pi \), колеблющегося между \( y=2.5 \) и \( y=3.5 \). Если хотите, я могу подготовить чертеж или помочь с конкретными точками для построения.