Построить график функции:** \[ y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \]

Конечно! Ниже приведено подробное объяснение и пошаговое решение для построения графика функции:

Задача:

Построить график функции:
\[ y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \]

Шаг 1: Анализ функции

• Это функция вида \( y = a \cos x + b \), где:
  • Амплитуда \( |a| = \frac{1}{2} \),
  • Вертикальный сдвиг \( b = 3 \),
  • Коэффициент перед косинусом влияет на «колебания» графика,
  • Период функции \( T = 2\pi / |a| \).

Шаг 2: Основные свойства

• Амплитуда: \( \left| \frac{1}{2} \right| = 0.5 \).
  Это значит, что график колеблется на 0.5 по вертикали относительно своей средней линии.

• Вертикальный сдвиг: \( +3 \).
  График «поднят» вверх на 3 относительно базового графика \( y = \cos x \).

• Период:
  Стандартный косинус имеет период \( 2\pi \).
  Поскольку у нас коэффициент \( a = \frac{1}{2} \), диапазон изменения функции не влияет на период, так как период зависит только от \( x \).
  Поэтому период остаётся \( 2\pi \).

Шаг 3: Построение основных точек

• Ключевые точки для \( \cos x \):
  \[ \begin{cases} x=0, & y = \frac{1}{2} \cdot 1 + 3 = 0.5 + 3 = 3 \\ x=\pi/2, & y= \frac{1}{2} \cdot 0 + 3= 3 \\ x=\pi, & y= \frac{1}{2} \cdot (-1) +3= -0.5 +3= 2.5 \\ x= 3\pi/2, & y= 0 +3= 3 \\ x=2\pi, & y= 1 +3=4 \end{cases} \]

• Основные точки для отрицательных \( x \), например, \( x=-\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi \):
  Аналогично, так как косинус — чёткая, симметричная функция.

Шаг 4: Построение графика

1. Нарисуйте систему координат.
2. Обозначьте ось \( x \) с диапазоном примерно от \(-2\pi\) до \(2\pi\) для хорошего отображения.
3. Отметьте ключевые точки, полученные выше.
4. Соедините эти точки плавной синусоидальной линией, учитывая, что график колеблется с амплитудой 0.5 вокруг линии \( y=3 \).

Шаг 5: Важные особенности графика

• Максимум достигается при \( \cos x = 1 \), то есть, при \( x = 2k\pi \), где \(k\) — целое число. Тогда:
  \[ y_{max} = 0.5 + 3 = 3.5 \]
• Минимум достигается при \( \cos x = -1 \), то есть, при \( x = (2k+1)\pi \):
  \[ y_{min} = -0.5 + 3 = 2.5 \]
• Средняя линия — это вертикально сдвинутая ось: линии \( y=3 \).

Итог:

График функции \( y = \frac{1}{2} \cos x + 3 \) — это косинусоида со средней линией на уровне \( y=3 \), высотой амплитуды 0.5, периодом \( 2\pi \), колеблющегося между \( y=2.5 \) и \( y=3.5 \).

Если хотите, я могу подготовить чертеж или помочь с конкретными точками для построения.