Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора AB - AC

Давайте решим задачу по шагам.

Задача:
Длины сторон треугольника ABC равны 3 (то есть, \( AB = BC = CA = 3 \)). Нужно найти длину вектора \( \vec{AB} - \vec{AC} \).

Шаг 1: Понимание задачи
Вектор \( \vec{AB} \) — это вектор, указывающий из точки A в точку B.
Вектор \( \vec{AC} \) — это вектор, указывающий из точки A в точку C.
Нам нужно найти длину вектора \( \vec{AB} - \vec{AC} \).

Шаг 2: Представление через координаты
Для удобства предположим, что точка A находится в начале системы координат: \( A(0,0) \).
Тогда точки B и C расположены так, чтобы стороны были равны 3.

Пусть:

• \( B = (x_1, y_1) \)
• \( C = (x_2, y_2) \)

Тогда:

• \( \vec{AB} = (x_1 - 0, y_1 - 0) = (x_1, y_1) \)
• \( \vec{AC} = (x_2, y_2) \)

Шаг 3: Используем условия равенства сторон
Так как треугольник равносторонний с длиной стороны 3:
\[ |AB| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = 3 \] \[ |AC| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = 3 \]

Также нужно учитывать, что расстояние между B и C равно длине стороны или определить какую задачу именно нужно решить — в условии указано, что ABC — правильный треугольник, следовательно, сторонние вектора между B и C тоже равны 3.

То есть,
\[ |BC| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 3 \]

Шаг 4: Выбор конкретных координат
Для удобства выберем точки так, чтобы сделать вычисления проще.

Пусть:

• \( A = (0,0) \)
• \( B = (3,0) \) (на оси x, так как \( |AB|=3 \))

Когда это сделано, то из условия \( |AC|=3 \), получаем:

\[ x_2^2 + y_2^2 = 9 \]

Итак, для точки C, находящейся на окружности радиусом 3:

Рассмотрим точку \( C \) на окружности \( x_2^2 + y_2^2 = 9 \), расположенную так, чтобы треугольник был равносторонним. В этом случае, чтобы сформировать равносторонний треугольник, точка C должна находиться так, чтобы углы между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) были 60°.

Пусть \( C = (x_2, y_2) \) и найдём её координаты.

Шаг 5: Определение координат C
Известно, что \( |AB|=|AC|=3 \), и угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) равен 60°, потому что треугольник равносторонний.

Координаты точки \( B = (3,0) \).
Известно, что вектор \( \vec{AB} = (3,0) \).

Пусть \( \vec{AC} = (x, y) \):

• \( x^2 + y^2 = 9 \) (на окружности радиуса 3)

Также, по условию равносторонности, угол между \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) равен 60°:

\[ \cos 60^\circ = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} \]

Подставляя значения:

\[ \frac{1}{2} = \frac{(3)(x) + 0 \cdot y}{3 \times 3} = \frac{3x}{9} = \frac{x}{3} \]

Отсюда:

\[ x/3 = 1/2 \Rightarrow x = 3/2 \]

Теперь остаётся найти \( y \):

\[ x^2 + y^2 = 9 \Rightarrow (3/2)^2 + y^2 = 9 \Rightarrow 9/4 + y^2 = 9 \] \[ y^2 = 9 - 9/4 = \frac{36}{4} - \frac{9}{4} = \frac{27}{4} \] \[ y = \pm \sqrt{27/4} = \pm \frac{\sqrt{27}}{2} = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2} \]

Выберем положительный знак:

\[ C = (3/2, \frac{3\sqrt{3}}{2}) \]

Шаг 6: Вычисление \( \vec{AB} - \vec{AC} \)

\[ \vec{AB} = (3, 0) \] \[ \vec{AC} = (1.5, 2.598...) \text{ (где } 3\sqrt{3}/2 \approx 2.598) \]

Вектор разности:

\[ \vec{AB} - \vec{AC} = (3 - 1.5, 0 - 2.598...) = (1.5, -2.598...) \]

Длина этого вектора:

\[ |\vec{AB} - \vec{AC}| = \sqrt{(1.5)^2 + (-2.598)^2} \approx \sqrt{2.25 + 6.75} = \sqrt{9} = 3 \]

Ответ:

\[ \boxed{3} \]

Итак, длина вектора \( \vec{AB} - \vec{AC} \) равна 3.