В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят грушу, 11 черешню. 2 любят и грушу и яерешню, 6 грушу и яблоки, 5 яблоки и черешню. Но есть в классе 2 ученика которые любят всё и 4 таких кто фруктов вообще не любит. Сколько учеников этого класса любят яблоки

Рассмотрим задачу и обозначим нужные мбрки для удобства: - Общее число учеников: \( N = 25 \) - Любят грушу: \( G = 7 \) - Любят черешню: \( C = 11 \) - Любят и грушу, и черешню: \( G \cap C = 2 \) - Любят и яблоки: \( A \) - Любят грушу и яблоки: \( G \cap A = 6 \) - Любят черешню и яблоки: \( C \cap A = 5 \) - Любят всё три фрукта: \( G \cap C \cap A = 2 \) - Не любят фрукты вообще: \( N_0 = 4 \) Также известно, что в классе есть 2 ученика, которые любят всё, и 4, кто вовсе не любит фруктов. Обозначим: - \( N_{all} = 2 \) — те, кто любят всё три фрукта (подтверждается, что это равно \( G \cap C \cap A \)) - \( N_{none} = 4 \) — те, кто не любят фрукты Нам нужно найти число учеников, которые любят яблоки: \( A \). --- ### Шаг 1: Определим число учеников, которые любят хотя бы один фрукт Всего учеников, которые не любят фрукты: \( 4 \) Общее число учеников: 25, значит те, кто любят хотя бы один фрукт: \[ N_{some} = 25 - 4 = 21 \] --- ### Шаг 2: Используем формулу включений-исключений для вычисления количества учеников, любящих хотя бы один фрукт. Для трех множеств (груша \( G \), черешня \( C \), яблоки \( A \)): \[ |G \cup C \cup A| = |G| + |C| + |A| - |G \cap C| - |G \cap A| - |C \cap A| + |G \cap C \cap A| \] Достаточно известны некоторые из этих величин, остальные нужно найти. --- ### Шаг 3: Определим число учеников, любящих хотя бы два фрукта, чтобы учесть пересечения. Из условия: - Ученики любят все три фрукта: \( 2 \) - Ученики, любящие грушу и яблоки: \( 6 \) - Ученики, любящие черешню и яблоки: \( 5 \) Но среди учеников, которые любят грушу и яблоки, есть и те, кто любят все три, то есть \( 2 \) человека. Аналогично, среди тех, кто любит черешню и яблоки, есть \( 2 \), кто любят все три. Значит, пересечения двух множеств (например, \( G \cap A \)) включают и тех, кто любит все три фрукта. Обозначим: - \( G \cap A \) содержит \(\text{совсем все три} = 2\), а остальные \( 6 - 2 = 4 \) — только груша и яблоки. - Аналогично для \( C \cap A \), внутри 5 человек 2 любят всё три, остальные \( 3 \). --- ### Шаг 4: Найдём число учеников, любящих только один фрукт, а также тех, кто любит два и три. Обозначим: - \( x \) — число учеников, которые любят только яблоки. - \( y \) — число учеников, которые любят только грушу. - \( z \) — число учеников, которые любят только черешню. Используем информацию: - Всего, кто любит грушу: 7, из них: - Любят все три: 2 - Любят грушу и яблоки (включая тех, кто любит все три): 6 Тогда, число, кто любит только грушу: \[ y = 7 - (часть, которая любит грушу и яблоки, за исключением тех, кто любит все три) - часть, которая любит грушу и черешню. \] Но подается, что: - \( G \cap A = 6 \), из них 2 любят все три, значит, только груша и яблоки — \( 6 - 2 = 4 \). Аналогично для черешни: - Всего черешни: 11 - \( C \cap A = 5 \), из них 2 любят все три, остальные 3 — только черешня и яблоки. Теперь найдем: - \( y \) — те, кто любит только грушу - \( z \) — только черешню - \( x \) — только яблоки --- ### Шаг 5: Подсчитаем число учеников, которых любит каждый фрукт по отдельности. Обозначим: - Любят только грушу: \( y \) - Любят только черешню: \( z \) - Любят только яблоки: \( x \) Итак, по условию: \[ |G| = y + \text{любят грушу и яблоки только} + \text{любят грушу и черешню, но не все три} + \text{любят все три} \] или \[ 7 = y + 4 + \text{(люди, любящие грушу и черешню, но не все три)} + 2 \] Но из условий это не прозрачно, попробуем использовать проще: Обозначим: - \( G_{only} = y \) - \( C_{only} = z \) - \( A_{only} = x \) Также: - \( G \cap A \) содержит 6 человек, из них 2 — все три, оставшиеся 4 — только груша и яблоки. - \( C \cap A \) содержит 5 человек, из них 2 — все три, оставшиеся 3 — только черешня и яблоки. ### Шаг 6: Найдём число учеников, любящих только яблоки. Обозначим: - \( A_{only} = x \) Тогда суммарное число, кто любит яблоки: \[ |A| = x + \text{только грушу и яблоки} + \text{только черешню и яблоки} + \text{все три} \] Но знаем, что: - \( G \cap A = 6 \), из них 2 — все три, остальные (4) — только грушу и яблоки. - \( C \cap A = 5 \), из них 2 — все три, остальные (3) — только черешню и яблоки. Запишем: \[ |A| = x + 4 + 3 + 2 = x + 9 \] Также в условии есть тот факт, что есть 2 ученика, которые любят всё (подтверждение, что это число совпадает с \( G \cap C \cap A \)). Теперь осталось определить \( x \). ### Шаг 7: Используем общее число и известные пересечения, чтобы найти \( x \). Общее число учеников, любящих хотя бы один фрукт: \[ N_{some} = |G \cup C \cup A| = 21 \] По формуле включений-исключений: \[ |G \cup C \cup A| = |G| + |C| + |A| - |G \cap C| - |G \cap A| - |C \cap A| + |G \cap C \cap A| \] Подставим известные числа: \[ 21 = 7 + 11 + |A| - 2 - 6 - 5 + 2 \] \[ 21 = (7 + 11 + |A|) - (2 + 6 + 5) + 2 \] \[ 21 = (18 + |A|) - 13 + 2 \] \[ 21 = 18 + |A| - 13 + 2 \] \[ 21 = (18 - 13 + 2) + |A| = 7 + |A| \] Следовательно, \[ |A| = 21 - 7 = 14 \] Но мы ранее выразили, что \( |A| = x + 9 \): \[ x + 9 = 14 \] Отсюда: \[ x = 14 - 9 = 5 \] --- ### **Ответ:** Количество учеников, которые любят яблоки — **5**.