1. Решить задачу. Пробная экзаменационная работа. Вариант 2 В корзине лежит 8 синих шаров, 7 красных шаров, 10 зеленых шаров. Наугад достают один шар. Какова вероятность того, что…

Конечно! Вот подробные решения для каждого задания, с объяснениями.

---

Задача 1. Вероятность того, что шар окажется синим

Дано:

• Синих шаров: 8
• Красных шаров: 7
• Зеленых шаров: 10

Общее число шаров: \[ 8 + 7 + 10 = 25 \]

Вероятность того, что выбранный шар окажется синим: \[ P(\text{синий}) = \frac{\text{число синих}}{\textобщего числа} = \frac{8}{25} \]

Ответ: \(\frac{8}{25}\) или 0,32 (32%).

---

Задача 2. Найти значение выражения

1) \( V128 \)

Скорее всего, тут опечатка, и имеется в виду \(\sqrt{128}\).

Вычислим: \[ \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \]

Ответ: \(\boxed{8\sqrt{2}}\)

---

2) 7.7%

Переведём в десятичную дробь: \[ 7.7\% = \frac{7.7}{100} = 0.077 \]

Ответ: 0.077

---

3) \(\log s 250 - \log s 2\)

Здесь, вероятно, идет речь о логарифме по основанию \(s\).

Правило разности логарифмов: \[ \log_s 250 - \log_s 2 = \log_s \frac{250}{2} = \log_s 125 \]

Ответ: \(\log_s 125\)

---

4) \(3 \log s\)

Тут, скорее всего, имеется в виду \(3 \times \log s\).

Ответ: \(3 \log s\)

---

5) \(\cos x + \sin x\)

Без конкретных данных о \(x\), просто оставим выражение как есть.

---

Задача 3. Решить уравнения

1) \(\sqrt{4x - 8} = 4\)

Решение: \[ \sqrt{4x - 8} = 4 \] Возводим обе части в квадрат: \[ 4x - 8 = 16 \] Решаем уравнение: \[ 4x = 16 + 8 = 24 \Rightarrow x = 6 \] Проверка: подставим обратно: \[ \sqrt{4 \times 6 - 8} = \sqrt{24 - 8} = \sqrt{16} = 4 \quad \text{верно} \]

Ответ: \(x = 6\)

---

2) \(76x - 7 = 49\)

Решим уравнение: \[ 76x = 49 + 7 = 56 \] \[ x = \frac{56}{76} = \frac{14}{19} \]

Ответ: \(x = \frac{14}{19}\)

---

3) \(\log(4x + 3) = 3\)

Переведем логарифмическое уравнение в показательное: \[ 4x + 3 = 10^3 = 1000 \] Решим: \[ 4x = 1000 - 3 = 997 \] \[ x = \frac{997}{4} = 249.25 \]

Ответ: \(x = \frac{997}{4}\)

---

Задача 4. Найти \(\cos x\), \(\tan x\), если \(\sin x = -\frac{1}{2}\), и \(\displaystyle 180^\circ < x < 270^\circ\).

В данном диапазоне \(x\) — третий или четвертый квадрант. Но так как \(\sin x < 0\), то \(x\) находится в III или IV квадранте. В пределах \(180^\circ < x < 270^\circ\) — это третий квадрант (где синус и косинус отрицательны).

\[ \sin x = - \frac{1}{2} \]

Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Подставим \(\sin x\): \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

В третьем квадранте \(\cos x < 0\), значит: \[ \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Находим \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\): \[ \tan x = \frac{-\frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-1/2}{- \sqrt{3}/2} = \frac{-1/2}{- \sqrt{3}/2} = \frac{-1/2}{- \sqrt{3}/2} = \frac{-1}{- \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Ответ: \[ \boxed{ \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} } \]

---

Задача 5. Определить промежутки монотонности и экстремумы функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).

Решение:

1. Находим первую производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \]

2. Корни: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2 \]

3. Исследуем знак \(f'(x)\):

• Для \(x < 0\), например, \(x = -1\): \(f'(-1) = 3 \times 1 \times (-1 - 2) = 3 \times (-3) = -9 < 0\). Значит, \(f\) убывает.
• Для \(0 < x < 2\), например, \(x = 1\): \(f'(1) = 3 \times 1 \times (1 - 2) = 3 \times (-1) = -3 < 0\), убывает.
• Для \(x > 2\), например, \(x=3\): \(f'(3) = 3 \times 9 \times (3 - 2) = 3 \times 9 \times 1= 27 > 0\), возрастает.

Области монотонности:

• убывает на \((-\infty, 2)\)
• возрастает на \((2, +\infty)\)

Экстремумы:

• В точке \(x=0\): изменение знака с минус на минус, экстремума нет, но проверим значение \(f(0)=4\).
• В точке \(x=2\): знак \(f'\) меняется с минуса на плюса, значит, это минимум.

Находим координаты экстремума: \[ f(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 4 = 8 - 3 \times 4 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \]

Ответ: минимум в точке \((2,0)\), функция убывает на \((-\infty, 2)\), возрастает на \((2, +\infty)\).

---

Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(f(x) = 4x + 1\), прямыми \(x=0\), \(x=2\) и осью \(Ox\).

Это — площадь под графиком линейной функции между \(x=0\) и \(x=2\).

1. Вычислим значения функции: \[ f(0) = 4 \times 0 + 1 = 1 \] \[ f(2) = 4 \times 2 + 1 = 9 \]

2. Площадь фигуры — это площадь трапеции: \[ S = \frac{(f(0) + f(2))}{2} \times \text{длина основания} = \frac{1 + 9}{2} \times 2 = 10 \]

или, можно взять интеграл: \[ S = \int_{0}^{2} (4x + 1) dx = \left[ 2x^2 + x \right]_0^{2} = (2 \times 4 + 2) - 0 = 8 + 2 = 10 \]

Ответ: 10.

---

Задача 7. Найти площадь поверхности конуса высотой 8 и диаметром 12.

1. Радиус основания: \[ r = \frac{d}{2} = 6 \]

2. Генерический образец: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

3. Площадь боковой поверхности: \[ S_{бока} = \pi r l = \pi \times 6 \times 10 = 60 \pi \]

Ответ: \(60 \pi\)

---

Задача 8. Решить уравнение:

\[ 16x^{174}x + 16 = 0 \]

Похоже, в уравнении есть опечатки, исходя из похожих выражений. Возможно, имелось в виду: \[ 16x^{174} + 16 = 0 \]

Решим это:

\[ 16x^{174} = -16 \] \[ x^{174} = -1 \]

Квадрат любой степени четной — не может быть отрицательным. Так как \(174\) — чётная степень, то:

\[ x^{174} \ge 0 \quad \text{для любого } x \neq 0 \] \[ x^{174} = -1 \text{ не имеет решений} \]

Но, есть исключение: если \(x=0\):

\[ 0^{174} = 0 \neq -1 \]

Значит, решений нет.

Ответ: решений — нет.

---

Если есть дополнительные уточнения по задачам, могу помочь более точечно!