1. Решить задачу. Пробная экзаменационная работа. Вариант 2 В корзине лежит 8 синих шаров, 7 красных шаров, 10 зеленых шаров. Наугад достают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется синим? 2. Найти значение выражения: 1) V128 2) 7.7%; 3) logs 250-logs 2; 4) 3logs; 5) cos+ sin 3. Решить уравнение: 1) √4x-8 = 4; 2) 76х-7 = 49; 3) logs(4x +3) = 3; 4. Найти cos x, tg x, если sin x=- - и 180°

Конечно! Вот подробные решения для каждого задания, с объяснениями. --- ### Задача 1. Вероятность того, что шар окажется синим Дано: - Синих шаров: 8 - Красных шаров: 7 - Зеленых шаров: 10 Общее число шаров: \[ 8 + 7 + 10 = 25 \] Вероятность того, что выбранный шар окажется синим: \[ P(\text{синий}) = \frac{\text{число синих}}{\textобщего числа} = \frac{8}{25} \] **Ответ:** \(\frac{8}{25}\) или 0,32 (32%). --- ### Задача 2. Найти значение выражения #### 1) \( V128 \) Скорее всего, тут опечатка, и имеется в виду \(\sqrt{128}\). Вычислим: \[ \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} \] **Ответ:** \(\boxed{8\sqrt{2}}\) --- #### 2) 7.7% Переведём в десятичную дробь: \[ 7.7\% = \frac{7.7}{100} = 0.077 \] **Ответ:** 0.077 --- #### 3) \(\log s 250 - \log s 2\) Здесь, вероятно, идет речь о логарифме по основанию \(s\). Правило разности логарифмов: \[ \log_s 250 - \log_s 2 = \log_s \frac{250}{2} = \log_s 125 \] **Ответ:** \(\log_s 125\) --- #### 4) \(3 \log s\) Тут, скорее всего, имеется в виду \(3 \times \log s\). **Ответ:** \(3 \log s\) --- #### 5) \(\cos x + \sin x\) Без конкретных данных о \(x\), просто оставим выражение как есть. --- ### Задача 3. Решить уравнения #### 1) \(\sqrt{4x - 8} = 4\) Решение: \[ \sqrt{4x - 8} = 4 \] Возводим обе части в квадрат: \[ 4x - 8 = 16 \] Решаем уравнение: \[ 4x = 16 + 8 = 24 \Rightarrow x = 6 \] Проверка: подставим обратно: \[ \sqrt{4 \times 6 - 8} = \sqrt{24 - 8} = \sqrt{16} = 4 \quad \text{верно} \] **Ответ:** \(x = 6\) --- #### 2) \(76x - 7 = 49\) Решим уравнение: \[ 76x = 49 + 7 = 56 \] \[ x = \frac{56}{76} = \frac{14}{19} \] **Ответ:** \(x = \frac{14}{19}\) --- #### 3) \(\log(4x + 3) = 3\) Переведем логарифмическое уравнение в показательное: \[ 4x + 3 = 10^3 = 1000 \] Решим: \[ 4x = 1000 - 3 = 997 \] \[ x = \frac{997}{4} = 249.25 \] **Ответ:** \(x = \frac{997}{4}\) --- ### Задача 4. Найти \(\cos x\), \(\tan x\), если \(\sin x = -\frac{1}{2}\), и \(\displaystyle 180^\circ < x < 270^\circ\). В данном диапазоне \(x\) — третий или четвертый квадрант. Но так как \(\sin x < 0\), то \(x\) находится в III или IV квадранте. В пределах \(180^\circ < x < 270^\circ\) — это третий квадрант (где синус и косинус отрицательны). \[ \sin x = - \frac{1}{2} \] Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Подставим \(\sin x\): \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] В третьем квадранте \(\cos x < 0\), значит: \[ \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \] Находим \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\): \[ \tan x = \frac{-\frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-1/2}{- \sqrt{3}/2} = \frac{-1/2}{- \sqrt{3}/2} = \frac{-1/2}{- \sqrt{3}/2} = \frac{-1}{- \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] **Ответ:** \[ \boxed{ \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} } \] --- ### Задача 5. Определить промежутки монотонности и экстремумы функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\). **Решение:** 1. Находим первую производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \] 2. Корни: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2 \] 3. Исследуем знак \(f'(x)\): - Для \(x < 0\), например, \(x = -1\): \(f'(-1) = 3 \times 1 \times (-1 - 2) = 3 \times (-3) = -9 < 0\). Значит, \(f\) убывает. - Для \(0 < x < 2\), например, \(x = 1\): \(f'(1) = 3 \times 1 \times (1 - 2) = 3 \times (-1) = -3 < 0\), убывает. - Для \(x > 2\), например, \(x=3\): \(f'(3) = 3 \times 9 \times (3 - 2) = 3 \times 9 \times 1= 27 > 0\), возрастает. **Области монотонности:** - убывает на \((-\infty, 2)\) - возрастает на \((2, +\infty)\) **Экстремумы:** - В точке \(x=0\): изменение знака с минус на минус, экстремума нет, но проверим значение \(f(0)=4\). - В точке \(x=2\): знак \(f'\) меняется с минуса на плюса, значит, это минимум. Находим координаты экстремума: \[ f(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 4 = 8 - 3 \times 4 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] **Ответ:** минимум в точке \((2,0)\), функция убывает на \((-\infty, 2)\), возрастает на \((2, +\infty)\). --- ### Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(f(x) = 4x + 1\), прямыми \(x=0\), \(x=2\) и осью \(Ox\). Это — площадь под графиком линейной функции между \(x=0\) и \(x=2\). 1. Вычислим значения функции: \[ f(0) = 4 \times 0 + 1 = 1 \] \[ f(2) = 4 \times 2 + 1 = 9 \] 2. Площадь фигуры — это площадь трапеции: \[ S = \frac{(f(0) + f(2))}{2} \times \text{длина основания} = \frac{1 + 9}{2} \times 2 = 10 \] или, можно взять интеграл: \[ S = \int_{0}^{2} (4x + 1) dx = \left[ 2x^2 + x \right]_0^{2} = (2 \times 4 + 2) - 0 = 8 + 2 = 10 \] **Ответ:** 10. --- ### Задача 7. Найти площадь поверхности конуса высотой 8 и диаметром 12. 1. Радиус основания: \[ r = \frac{d}{2} = 6 \] 2. Генерический образец: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] 3. Площадь боковой поверхности: \[ S_{бока} = \pi r l = \pi \times 6 \times 10 = 60 \pi \] **Ответ:** \(60 \pi\) --- ### Задача 8. Решить уравнение: \[ 16x^{174}x + 16 = 0 \] Похоже, в уравнении есть опечатки, исходя из похожих выражений. Возможно, имелось в виду: \[ 16x^{174} + 16 = 0 \] Решим это: \[ 16x^{174} = -16 \] \[ x^{174} = -1 \] Квадрат любой степени четной — не может быть отрицательным. Так как \(174\) — чётная степень, то: \[ x^{174} \ge 0 \quad \text{для любого } x \neq 0 \] \[ x^{174} = -1 \text{ не имеет решений} \] Но, есть исключение: если \(x=0\): \[ 0^{174} = 0 \neq -1 \] Значит, решений нет. **Ответ:** решений — **нет**. --- Если есть дополнительные уточнения по задачам, могу помочь более точечно!