Деревянный брусок массой 3,2 кг с площадью основания 400 см2 плавает в воде. Брусок слегка погрузили в воду глубже и отпустили. Найдите частоту колебаний бруска. Силой трения…

Рассмотрим задачу о колебаниях деревянного бруска, частоту которых нужно найти. Для этого используем физические принципы колебаний погруженного тела и гидростатики.

Дано:

• Масса бруска \(m = 3,2\,\text{кг}\)
• Площадь основания \(S = 400\,\text{см}^2 = 0,04\,\text{м}^2\) (так как 1 м² = 10^4 см²)
• Плотность воды \(\rho = 1\,\text{г/см}^3 = 1000\,\text{кг/м}^3\)
• Сила трения пренебречь

---

Шаг 1: Определить гидростатические параметры

Масса и плотность воды: \[ \rho = 1000\,\text{кг/м}^3 \]

Объем бруска: \[ V = \frac{m}{\rho_b} \]

Пока \(\rho_b\) — плотность древесины, её в задаче не указано. В большинстве случаев плотность древесины около 700–900 кг/м³. Но поскольку масса и площадь заданы, можно найти объем бруска свойствами, связанные с его массой и площадью основания.

Объем бруска:

Объем, исходя из площади основания и высоты \(h\):

\[ V = S \times h \]

Но высоты \(h\) в задаче не дано, однако есть другой способ:

Масса и плотность бруска позволяют найти его объем (предположим, что \(\rho_b\) плотность древесины, по умолчанию около 700 кг/м³):

\[ V = \frac{m}{\rho_b} \]

Если мы возьмем \(\rho_b = 700\,\text{кг/м}^3\):

\[ V = \frac{3,2\,\text{кг}}{700\,\text{кг/м}^3} \approx 0,00457\,\text{м}^3 \]

Площадь основания: \(S = 0,04\,\text{м}^2\)

Высота:

\[ h = \frac{V}{S} = \frac{0,00457}{0,04} \approx 0,114\,\text{м} \]

---

Шаг 2: Молярные силы и их роль в колебаниях

Когда брусок плавает, он частично погружен. После погружения глубже и отпуска возникает колебание около равновесного положения.

Гидростатическая сила (сила Архимеда):

\[ F_A = \rho \, g \, V_{под} \]

где \(V_{под}\) — погруженный объем.

При небольших колебаниях:

• Восстановительная сила пропорциональна отклонению \(x\),
• Модель аналогична пружине.

---

Шаг 3: Определение частоты колебаний

Для маленьких колебаний так называемый закон колебаний вещества делается аналогичным процессу гармонических колебаний:

\[ m \frac{d^2 x}{dt^2} + k x = 0 \]

где \(k\) — эффективная "жесткость" системы.

Эффективная жесткость определяется силой Архимеда:

При отклонении на сторону:

\[ F_{р} = \rho g V_{под} \]

В небольших отклонениях \(x\), погруженная часть объемом меняется пропорционально отклонению:

\[ V_{под} = V \times \frac{h + x}{h} \]

или более просто для малых колебаний:

\[ k = \rho g S \]

Поскольку при колебании уровень воды меняется, и масса воды, вытесненная брусом, является жесткостью.

Тогда частота колебаний:

\[ \boxed{ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} } \]

где \(k = \rho g S\):

\[ \omega = \sqrt{\frac{\rho g S}{m}} \]

---

Шаг 4: Вставка числовых значений

Подставим известные значения:

• \(\rho = 1000\,\text{кг/м}^3\)
• \(g = 9,8\,\text{м/с}^2\)
• \(S = 0,04\,\text{м}^2\)
• \(m = 3,2\,\text{кг}\)

Высчитываем:

\[ k = \rho g S = 1000 \times 9,8 \times 0,04 = 1000 \times 0,392 = 392\,\text{Н/м} \]

Теперь частота:

\[ \omega = \sqrt{\frac{392}{3,2}} \approx \sqrt{122.5} \approx 11.07\,\text{рад/с} \]

Финальный ответ: частота колебаний

\[ f = \frac{\omega}{2 \pi} \approx \frac{11.07}{2 \pi} \approx \frac{11.07}{6.283} \approx 1.76\,\text{Гц} \]

---

Итог:

Частота колебаний бруска составляет примерно 1.76 Гц.