Деревянный брусок массой 3,2 кг с площадью основания 400 см2 плавает в воде. Брусок слегка погрузили в воду глубже и отпустили. Найдите частоту колебаний бруска. Силой трения пренебречь. Плотность воды равна 1 г/см3.

Рассмотрим задачу о колебаниях деревянного бруска, частоту которых нужно найти. Для этого используем физические принципы колебаний погруженного тела и гидростатики. **Дано:** - Масса бруска \(m = 3,2\,\text{кг}\) - Площадь основания \(S = 400\,\text{см}^2 = 0,04\,\text{м}^2\) (так как 1 м² = 10^4 см²) - Плотность воды \(\rho = 1\,\text{г/см}^3 = 1000\,\text{кг/м}^3\) - Сила трения пренебречь --- ### Шаг 1: Определить гидростатические параметры **Масса и плотность воды:** \[ \rho = 1000\,\text{кг/м}^3 \] **Объем бруска:** \[ V = \frac{m}{\rho_b} \] Пока \(\rho_b\) — плотность древесины, её в задаче не указано. В большинстве случаев плотность древесины около 700–900 кг/м³. Но поскольку масса и площадь заданы, можно найти объем бруска свойствами, связанные с его массой и площадью основания. **Объем бруска:** Объем, исходя из площади основания и высоты \(h\): \[ V = S \times h \] Но высоты \(h\) в задаче не дано, однако есть другой способ: Масса и плотность бруска позволяют найти его объем (предположим, что \(\rho_b\) плотность древесины, по умолчанию около 700 кг/м³): \[ V = \frac{m}{\rho_b} \] Если мы возьмем \(\rho_b = 700\,\text{кг/м}^3\): \[ V = \frac{3,2\,\text{кг}}{700\,\text{кг/м}^3} \approx 0,00457\,\text{м}^3 \] Площадь основания: \(S = 0,04\,\text{м}^2\) Высота: \[ h = \frac{V}{S} = \frac{0,00457}{0,04} \approx 0,114\,\text{м} \] --- ### Шаг 2: Молярные силы и их роль в колебаниях Когда брусок плавает, он частично погружен. После погружения глубже и отпуска возникает колебание около равновесного положения. Гидростатическая сила (сила Архимеда): \[ F_A = \rho \, g \, V_{под} \] где \(V_{под}\) — погруженный объем. При небольших колебаниях: - Восстановительная сила пропорциональна отклонению \(x\), - Модель аналогична пружине. --- ### Шаг 3: Определение частоты колебаний Для маленьких колебаний так называемый закон колебаний вещества делается аналогичным процессу гармонических колебаний: \[ m \frac{d^2 x}{dt^2} + k x = 0 \] где \(k\) — эффективная "жесткость" системы. **Эффективная жесткость** определяется силой Архимеда: При отклонении на сторону: \[ F_{р} = \rho g V_{под} \] В небольших отклонениях \(x\), погруженная часть объемом меняется пропорционально отклонению: \[ V_{под} = V \times \frac{h + x}{h} \] или более просто для малых колебаний: \[ k = \rho g S \] Поскольку при колебании уровень воды меняется, и масса воды, вытесненная брусом, является жесткостью. Тогда частота колебаний: \[ \boxed{ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} } \] где \(k = \rho g S\): \[ \omega = \sqrt{\frac{\rho g S}{m}} \] --- ### Шаг 4: Вставка числовых значений Подставим известные значения: - \(\rho = 1000\,\text{кг/м}^3\) - \(g = 9,8\,\text{м/с}^2\) - \(S = 0,04\,\text{м}^2\) - \(m = 3,2\,\text{кг}\) Высчитываем: \[ k = \rho g S = 1000 \times 9,8 \times 0,04 = 1000 \times 0,392 = 392\,\text{Н/м} \] Теперь частота: \[ \omega = \sqrt{\frac{392}{3,2}} \approx \sqrt{122.5} \approx 11.07\,\text{рад/с} \] ### Финальный ответ: частота колебаний \[ f = \frac{\omega}{2 \pi} \approx \frac{11.07}{2 \pi} \approx \frac{11.07}{6.283} \approx 1.76\,\text{Гц} \] --- ## Итог: **Частота колебаний бруска составляет примерно** **1.76 Гц**.