Давайте подробно решим вашу задачу. ### Дана задача: Три точки: - \( F(8; 1; 0) \) - \( E(0; 0; 4) \) - \( K(0; 5; 1) \) Нам нужно: a) Построить эти точки в декартовой системе координат. б) Определить, в каких координатных плоскостях или на осях они находятся. в) Докажите, что треугольник \( FKE \) равнобедренный. --- ## a) Построение точек в декартовой системе координат Построение точек в системе — это просто нанесение их на трехмерную декартову ось. Для наглядности можно представить их в виде точек в пространстве: - **Точка F (8, 1, 0):** — по оси \( x \): 8, — по оси \( y \): 1, — по оси \( z \): 0. Точка расположена в плоскости \( z=0 \) (так как координата \( z=0 \)), и находится на 8 единиц вдоль оси \( x \) и на 1 вдоль оси \( y \). - **Точка E (0, 0, 4):** — на начале осей по \( x \) и \( y \), — по оси \( z \): 4. Точка находится на высоте 4 по оси \( z \), в начале координат по \( x \) и \( y \). - **Точка K (0, 5, 1):** — на начале \( x=0 \), — по \( y \): 5, — по \( z \): 1. Точка находится на высоте 1 по оси \( z \), 5 по \( y \), в начале по \( x \). --- ## б) Какие координатные плоскости или оси они находятся? - **Точка F(8; 1; 0):** — Знает, что \( z=0 \), значит эта точка лежит в плоскости \( xy \). — Она также не лежит на осях (так как не все координаты равны нулю). - **Точка E(0; 0; 4):** — Лежит в плоскости \( xy \), потому что \( z=4 \neq 0 \), а по \( x \) и \( y \): координаты равны нулю. — На оси \( z \) она не находится, потому что она не лежит на начале оси (кроме точек на осях при \( y=0 \), \( x=0 \)), и высота — 4. - **Точка K(0; 5; 1):** — Не лежит на осях, но расположена в плоскости, которая не является ни одной из стандартных осей. ### Итог: - Точка \( F \) — в плоскости \( xy \) (так как \( z=0 \)) - Точка \( E \) — в плоскости \( xy \) (так как \( z=4 \)) - Точка \( K \) — в плоскости, не совпадающей с осями. --- ## в) Докажем, что треугольник \( FKE \) равнобедренный Для этого нужно найти расстояния между точками и сравнить их. ### Расстояния между точками в пространстве: Формула расстояния между двумя точками \( A(x_1, y_1, z_1) \) и \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] --- **1. Расстояние \( FE \):** \[ FE = \sqrt{(0 - 8)^2 + (0 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 1 + 16} = \sqrt{81} = 9 \] --- **2. Расстояние \( FK \):** \[ FK = \sqrt{(0 - 8)^2 + (5 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9 \] --- **3. Расстояние \( KE \):** \[ KE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (5 - 0)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{0 + 25 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \] --- ## Итог: \[ FE = 9,\quad FK = 9,\quad KE \approx 5.83 \] **Так как** \( FE = FK \), **то треугольник \( FKE \) является равнобедренным**, так как стороны \( FE \) и \( FK \) равны. --- # Итюп: - Точки построены в пространстве по координатам. - \( F \) и \( E \) лежат в плоскости \( xy \), \( K \) в другой плоскости. - Треугольник \( FKE \) — равнобедренный, так как его стороны \( FE \) и \( FK \) равны (по 9). Если есть дополнения или вопросы — обращайтесь!