Давайте подробно решим вашу задачу.

Дана задача:

Три точки:

• \( F(8; 1; 0) \)
• \( E(0; 0; 4) \)
• \( K(0; 5; 1) \)

Нам нужно: a) Построить эти точки в декартовой системе координат.
б) Определить, в каких координатных плоскостях или на осях они находятся.
в) Докажите, что треугольник \( FKE \) равнобедренный.

a) Построение точек в декартовой системе координат

Построение точек в системе — это просто нанесение их на трехмерную декартову ось. Для наглядности можно представить их в виде точек в пространстве:

• Точка F (8, 1, 0):
  — по оси \( x \): 8,
  — по оси \( y \): 1,
  — по оси \( z \): 0.
  Точка расположена в плоскости \( z=0 \) (так как координата \( z=0 \)), и находится на 8 единиц вдоль оси \( x \) и на 1 вдоль оси \( y \).

• Точка E (0, 0, 4):
  — на начале осей по \( x \) и \( y \),
  — по оси \( z \): 4.
  Точка находится на высоте 4 по оси \( z \), в начале координат по \( x \) и \( y \).

• Точка K (0, 5, 1):
  — на начале \( x=0 \),
  — по \( y \): 5,
  — по \( z \): 1.
  Точка находится на высоте 1 по оси \( z \), 5 по \( y \), в начале по \( x \).

б) Какие координатные плоскости или оси они находятся?

• Точка F(8; 1; 0):
  — Знает, что \( z=0 \), значит эта точка лежит в плоскости \( xy \).
  — Она также не лежит на осях (так как не все координаты равны нулю).

• Точка E(0; 0; 4):
  — Лежит в плоскости \( xy \), потому что \( z=4 \neq 0 \), а по \( x \) и \( y \): координаты равны нулю.
  — На оси \( z \) она не находится, потому что она не лежит на начале оси (кроме точек на осях при \( y=0 \), \( x=0 \)), и высота — 4.

• Точка K(0; 5; 1):
  — Не лежит на осях, но расположена в плоскости, которая не является ни одной из стандартных осей.

Итог:

• Точка \( F \) — в плоскости \( xy \) (так как \( z=0 \))
• Точка \( E \) — в плоскости \( xy \) (так как \( z=4 \))
• Точка \( K \) — в плоскости, не совпадающей с осями.

в) Докажем, что треугольник \( FKE \) равнобедренный

Для этого нужно найти расстояния между точками и сравнить их.

Расстояния между точками в пространстве:

Формула расстояния между двумя точками \( A(x_1, y_1, z_1) \) и \( B(x_2, y_2, z_2) \):

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

1. Расстояние \( FE \):

\[ FE = \sqrt{(0 - 8)^2 + (0 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 1 + 16} = \sqrt{81} = 9 \]

2. Расстояние \( FK \):

\[ FK = \sqrt{(0 - 8)^2 + (5 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9 \]

3. Расстояние \( KE \):

\[ KE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (5 - 0)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{0 + 25 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]

Итог:

\[ FE = 9,\quad FK = 9,\quad KE \approx 5.83 \]

Так как \( FE = FK \), то треугольник \( FKE \) является равнобедренным, так как стороны \( FE \) и \( FK \) равны.

Итюп:

• Точки построены в пространстве по координатам.
• \( F \) и \( E \) лежат в плоскости \( xy \), \( K \) в другой плоскости.
• Треугольник \( FKE \) — равнобедренный, так как его стороны \( FE \) и \( FK \) равны (по 9).

Если есть дополнения или вопросы — обращайтесь!