Даны три точки с координатами: F(8; 1; 0), E(0; 0; 4), K(0; 5; 1). a) Постройте их в декартовой системе координат. б) Укажите, в каких координатных плоскостях или на каких…

Рассмотрим решение задачи по порядку:

Даны точки:

• F(8; 1; 0)
• E(0; 0; 4)
• K(0; 5; 1)

---

а) Построение точек в декартовой системе координат

Это задание является теоретическим: для построения точек нужно изобразить их на трехмерной системе координат, отметив соответствующие координаты по осям x, y и z.

Шаги:

1. Ось x — горизонтальная, обозначающая первую координату.
2. Ось y — вертикальная, обозначающая вторую координату.
3. Ось z — третья, выходящая за плоскость (если смотреть со стороны).

Для точки F(8; 1; 0):

• Вотрите 8 по оси x.
• Вотрите 1 по оси y.
• 0 по оси z — то есть в плоскости XY.

Для точки E(0; 0; 4):

• Вотрите 0 по x и y — в начале координат по горизонтали и вертикали.
• 4 по z — поднимаем точку вверх на 4 по оси z.

Для точки K(0; 5; 1):

• 0 по x.
• 5 по y.
• 1 по z.

Итог: все точки можно изобразить в трехмерной системе так, чтобы они соответствовали указанным координатам.

---

б) Где находятся точки? Какие координатные плоскости или оси они используют?

• F(8; 1; 0): точка, находится в плоскости, параллельной XY, потому что z=0. То есть она лежит на плоскости XY, отдалена по x и y.
• E(0; 0; 4): на оси z — расположена в начале по x и y, поднятая вверх на 4 единицы.
• K(0; 5; 1): также на оси y (в точке y=5), на оси x в 0, и немного поднята по z (1).

---

г) Докажите, что треугольник FKE равнобедренный

Чтобы доказать, что треугольник FKE равнобедренный, нужно найти длины его сторон и проверить равенство двух из них.

---

д) Вычислим длины сторон треугольника FKE

Используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

---

1. Длина FK:

• F(8; 1; 0)
• K(0; 5; 1)

\[ FK = \sqrt{(0 - 8)^2 + (5 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9 \]

---

2. Длина FE:

• F(8; 1; 0)
• E(0; 0; 4)

\[ FE = \sqrt{(0 - 8)^2 + (0 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 1 + 16} = \sqrt{81} = 9 \]

---

3. Длина KE:

• K(0; 5; 1)
• E(0; 0; 4)

\[ KE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 5)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{0 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]

---

Вывод:

Длина сторон:

• FK = 9
• FE = 9
• KE ≈ 5.83

Так как стороны FK и FE равны, треугольник FKE является равнобедренным — у него есть две равные стороны.

---

е) Вычислим площадь треугольника FKE

Можно воспользоваться формулой площади по координатам трех точек:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \]

или через векторное произведение.

---

Пусть:

• \(A = F(8; 1; 0)\)
• \(B = E(0; 0; 4)\)
• \(C = K(0; 5; 1)\)

Рассчитаем векторы:

\[ \vec{AB} = \vec{E} - \vec{F} = (0 - 8, 0 - 1, 4 - 0) = (-8, -1, 4) \]

\[ \vec{AC} = \vec{K} - \vec{F} = (0 - 8, 5 - 1, 1 - 0) = (-8, 4, 1) \]

---

Векторное произведение:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -8 & -1 & 4 \\ -8 & 4 & 1 \\ \end{vmatrix} \]

Вычисляем:

\[ = \mathbf{i}((-1)\cdot 1 - 4 \cdot 4) - \mathbf{j}((-8)\cdot 1 - 4 \cdot (-8)) + \mathbf{k}((-8)\cdot 4 - (-1)\cdot (-8)) \]

\[ = \mathbf{i}(-1 - 16) - \mathbf{j}(-8 + 32) + \mathbf{k}(-32 - 8) \]

\[ = \mathbf{i}(-17) - \mathbf{j}(24) + \mathbf{k}(-40) \]

Модуль векторного произведения:

\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-17)^2 + 24^2 + (-40)^2} = \sqrt{289 + 576 + 1600} = \sqrt{2465} \]

---

Площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{2465} \approx \frac{1}{2} \times 49.65 \approx 24.82 \]

Ответ с точностью до целых:

\[ \boxed{\approx 25} \]

---

Итоговые ответы:

• а) Точки F, E, K построены по указанным координатам в трехмерной системе.
• б) Точки лежат на различных плоскостях: F на XY, E на высоте 4 по Z, K — на высоте 1.
• в) Треугольник FKE равнобедренный, так как FK = FE = 9.
• г) Площадь треугольника FKE приблизительно 25 единиц квадратных.

Если понадобится более подробное построение или другие задачи — обращайтесь!