Даны три точки с координатами: F(8; 1; 0), E(0; 0; 4), K(0; 5; 1). a) Постройте их в декартовой системе координат. б) Укажите, в каких координатных плоскостях или на каких координатных осях они находятся. b) Докажите, что треугольник FKE равнобедренный. г) вычислить площадь треугольника FKE с точностью до целых

Рассмотрим решение задачи по порядку: **Даны точки:** - F(8; 1; 0) - E(0; 0; 4) - K(0; 5; 1) --- ### а) Построение точек в декартовой системе координат Это задание является теоретическим: для построения точек нужно изобразить их на трехмерной системе координат, отметив соответствующие координаты по осям x, y и z. **Шаги:** 1. Ось x — горизонтальная, обозначающая первую координату. 2. Ось y — вертикальная, обозначающая вторую координату. 3. Ось z — третья, выходящая за плоскость (если смотреть со стороны). Для точки F(8; 1; 0): - Вотрите 8 по оси x. - Вотрите 1 по оси y. - 0 по оси z — то есть в плоскости XY. Для точки E(0; 0; 4): - Вотрите 0 по x и y — в начале координат по горизонтали и вертикали. - 4 по z — поднимаем точку вверх на 4 по оси z. Для точки K(0; 5; 1): - 0 по x. - 5 по y. - 1 по z. **Итог:** все точки можно изобразить в трехмерной системе так, чтобы они соответствовали указанным координатам. --- ### б) Где находятся точки? Какие координатные плоскости или оси они используют? - **F(8; 1; 0):** точка, находится в плоскости, параллельной XY, потому что z=0. То есть она лежит на плоскости XY, отдалена по x и y. - **E(0; 0; 4):** на оси z — расположена в начале по x и y, поднятая вверх на 4 единицы. - **K(0; 5; 1):** также на оси y (в точке y=5), на оси x в 0, и немного поднята по z (1). --- ### г) Докажите, что треугольник FKE равнобедренный Чтобы доказать, что треугольник FKE равнобедренный, нужно найти длины его сторон и проверить равенство двух из них. --- ### д) Вычислим длины сторон треугольника FKE Используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] --- #### 1. Длина FK: - F(8; 1; 0) - K(0; 5; 1) \[ FK = \sqrt{(0 - 8)^2 + (5 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9 \] --- #### 2. Длина FE: - F(8; 1; 0) - E(0; 0; 4) \[ FE = \sqrt{(0 - 8)^2 + (0 - 1)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 1 + 16} = \sqrt{81} = 9 \] --- #### 3. Длина KE: - K(0; 5; 1) - E(0; 0; 4) \[ KE = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 5)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{0 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \] --- ### **Вывод:** Длина сторон: - FK = 9 - FE = 9 - KE ≈ 5.83 Так как стороны FK и FE равны, **треугольник FKE является равнобедренным** — у него есть две равные стороны. --- ### е) Вычислим площадь треугольника FKE Можно воспользоваться формулой площади по координатам трех точек: \[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \] или через векторное произведение. --- #### Пусть: - \(A = F(8; 1; 0)\) - \(B = E(0; 0; 4)\) - \(C = K(0; 5; 1)\) Рассчитаем векторы: \[ \vec{AB} = \vec{E} - \vec{F} = (0 - 8, 0 - 1, 4 - 0) = (-8, -1, 4) \] \[ \vec{AC} = \vec{K} - \vec{F} = (0 - 8, 5 - 1, 1 - 0) = (-8, 4, 1) \] --- **Векторное произведение:** \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -8 & -1 & 4 \\ -8 & 4 & 1 \\ \end{vmatrix} \] Вычисляем: \[ = \mathbf{i}((-1)\cdot 1 - 4 \cdot 4) - \mathbf{j}((-8)\cdot 1 - 4 \cdot (-8)) + \mathbf{k}((-8)\cdot 4 - (-1)\cdot (-8)) \] \[ = \mathbf{i}(-1 - 16) - \mathbf{j}(-8 + 32) + \mathbf{k}(-32 - 8) \] \[ = \mathbf{i}(-17) - \mathbf{j}(24) + \mathbf{k}(-40) \] **Модуль векторного произведения:** \[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-17)^2 + 24^2 + (-40)^2} = \sqrt{289 + 576 + 1600} = \sqrt{2465} \] --- **Площадь треугольника:** \[ S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{2465} \approx \frac{1}{2} \times 49.65 \approx 24.82 \] **Ответ с точностью до целых:** \[ \boxed{\approx 25} \] --- ## Итоговые ответы: - **а)** Точки F, E, K построены по указанным координатам в трехмерной системе. - **б)** Точки лежат на различных плоскостях: F на XY, E на высоте 4 по Z, K — на высоте 1. - **в)** Треугольник FKE равнобедренный, так как FK = FE = 9. - **г)** Площадь треугольника FKE приблизительно **25 единиц** квадратных. Если понадобится более подробное построение или другие задачи — обращайтесь!