Cos(П(8x+8)/3)=1/2

Разберем задачу: \[ \cos\left(\frac{\pi(8x+8)}{3}\right) = \frac{1}{2} \] **Шаг 1: Определим, что означает уравнение** Здесь мы ищем такое значение \( x \), при котором косинус выражения равен 1/2. **Шаг 2: Решение классического уравнения для косинуса** Известно, что: \[ \cos \theta = \frac{1}{2} \] при этом: \[ \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] То есть, все значения \(\theta\), для которых косинус равен 1/2, задаются формулой: \[ \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z} \] **Шаг 3: Подставим \(\theta = \frac{\pi(8x+8)}{3}\)** Получаем: \[ \frac{\pi(8x+8)}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \] **Шаг 4: Упростим уравнение** Разделим обе части на \(\pi\): \[ \frac{8x + 8}{3} = \pm \frac{1}{3} + 2k \] **Шаг 5: Решим полученное уравнение относительно \(x\)** - Для положительного знака: \[ \frac{8x + 8}{3} = \frac{1}{3} + 2k \] - Для отрицательного знака: \[ \frac{8x + 8}{3} = -\frac{1}{3} + 2k \] **Шаг 6: Решение для каждого случая** **Первый случай (\(+\)):** \[ 8x + 8 = 1 + 6k \] (умножили обе части на 3) и далее разбираемся: \[ 8x = 1 + 6k - 8 \] \[ 8x = -7 + 6k \] \[ x = \frac{-7 + 6k}{8} \] **Второй случай (\(-\)):** \[ 8x + 8 = -1 + 6k \] \[ 8x = -1 + 6k - 8 \] \[ 8x = -9 + 6k \] \[ x = \frac{-9 + 6k}{8} \] **Итого:** \[ \boxed{ x = \frac{-7 + 6k}{8} \quad \text{или} \quad x = \frac{-9 + 6k}{8},\quad k \in \mathbb{Z} } \] **Это общее решение!** --- Если нужно, можно упростить или указать конкретные значения при заданных \(k\). Если есть дополнительные условия или нужно уточнить — скажите!