cos(П(8x+8)/3)=1/2

Разберем задачу:
\[ \cos\left(\frac{\pi(8x+8)}{3}\right) = \frac{1}{2} \]

Шаг 1: Определим, что означает уравнение
Здесь мы ищем такое значение \( x \), при котором косинус выражения равен 1/2.

Шаг 2: Решение классического уравнения для косинуса
Известно, что:
\[ \cos \theta = \frac{1}{2} \]
при этом:
\[ \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

То есть, все значения \(\theta\), для которых косинус равен 1/2, задаются формулой:
\[ \theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z} \]

Шаг 3: Подставим \(\theta = \frac{\pi(8x+8)}{3}\)
Получаем:
\[ \frac{\pi(8x+8)}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \]

Шаг 4: Упростим уравнение
Разделим обе части на \(\pi\):
\[ \frac{8x + 8}{3} = \pm \frac{1}{3} + 2k \]

Шаг 5: Решим полученное уравнение относительно \(x\)

• Для положительного знака:
  \[ \frac{8x + 8}{3} = \frac{1}{3} + 2k \]

• Для отрицательного знака:
  \[ \frac{8x + 8}{3} = -\frac{1}{3} + 2k \]

Шаг 6: Решение для каждого случая

Первый случай (\(+\)):
\[ 8x + 8 = 1 + 6k \] (умножили обе части на 3) и далее разбираемся:
\[ 8x = 1 + 6k - 8 \]
\[ 8x = -7 + 6k \]
\[ x = \frac{-7 + 6k}{8} \]

Второй случай (\(-\)):
\[ 8x + 8 = -1 + 6k \]
\[ 8x = -1 + 6k - 8 \]
\[ 8x = -9 + 6k \]
\[ x = \frac{-9 + 6k}{8} \]

Итого:
\[ \boxed{ x = \frac{-7 + 6k}{8} \quad \text{или} \quad x = \frac{-9 + 6k}{8},\quad k \in \mathbb{Z} } \]

Это общее решение!

Если нужно, можно упростить или указать конкретные значения при заданных \(k\).

Если есть дополнительные условия или нужно уточнить — скажите!