Основания прямой призмы - треугольник со сторонами 8 см и 3 см и углом между ними 60°. Высота призмы 15 см. Найдите площадь полной поверхности и объём призмы

Давайте поэтапно решим задачу по геометрии. **Дано:** - Основание — треугольник со сторонами 8 см и 3 см, и углом между ними 60°. - Высота призмы — 15 см. - Требуется найти: площадь полной поверхности и объем призмы. --- ## Шаг 1: Найти площадь основания — треугольника Треугольник дан двумя сторонами и углом между ними. Это удобный случай для применения формулы площади через две стороны и угол: \[ S_{основания} = \frac{1}{2}ab \sin \theta \] где: - \(a = 8\,\text{см}\), - \(b = 3\,\text{см}\), - \(\theta = 60^\circ\). Подставим: \[ S_{основания} = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 \times \sin 60^\circ \] Знаем, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда: \[ S_{основания} = 4 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см}^2 \] **Ответ:** площадь одного основания равна \(6 \sqrt{3}\,\text{см}^2\). --- ## Шаг 2: Найти площадь полной поверхности призмы Площадь полной поверхности — это сумма площади двух оснований и площадей боковых сторон. ### 2.1. Площадь двух оснований: \[ S_{основания} \times 2 = 2 \times 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}\,\text{см}^2 \] ### 2.2. Боковые поверхности: Они — это прямолинейные поверхности, соединяющие соответствующие стороны оснований. Обозначим стороны основания: - сторона \(a = 8\,\text{см}\), - сторона \(b = 3\,\text{см}\), - третьей стороны находить не нужно, так как она найдется после. Для боковых сторон — высоты, параллельные образующим ребрам основания — равны высоте призмы, т.е., 15 см. Теперь найдём длины сторон треугольника, а также боковые поверхности: - Боковая поверхность, прилегающая к стороне 8 см: \(A_1 = 8 \times 15 = 120\,\text{см}^2\) - Боковая поверхность, прилегающая к стороне 3 см: \(A_2 = 3 \times 15 = 45\,\text{см}^2\) Нужно также найти сторону треугольника, которая не дана — то есть третью сторону \(\text{c}\). --- ## Шаг 3: Найти третью сторону треугольника Используем закон косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta \] Подставим: \[ c^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \times 8 \times 3 \times \cos 60^\circ \] Знаем, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Тогда: \[ c^2 = 64 + 9 - 2 \times 8 \times 3 \times \frac{1}{2} \] Вычислим: \[ c^2 = 73 - (2 \times 8 \times 3 \times \frac{1}{2}) = 73 - (8 \times 3) = 73 - 24 = 49 \] Ответ: \[ c = \sqrt{49} = 7\,\text{см} \] Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно стороны основания: - \(a=8\,\textсм}\) - \(b=3\,\textсм}\) - \(c=7\,\textсм}\) Три боковые стороны, их площади: - \(8 \times 15 = 120\,\text{см}^2\) - \(3 \times 15 = 45\,\text{см}^2\) - \(7 \times 15 = 105\,\text{см}^2\) Общая боковая площадь: \[ A_{боковая} = 120 + 45 + 105 = 270\,\text{см}^2 \] --- ## Итог: площадь полной поверхности \[ S_{полн} = \text{площадь двух оснований} + \text{площадь боковых сторон} \] \[ S_{полн} = 12 \sqrt{3} + 270\,\text{см}^2 \] --- ## Шаг 4: Найти объем призмы Объем равен площади основания, умноженной на высоту призмы: \[ V = S_{основания} \times h \] \[ V = 6 \sqrt{3} \times 15 = 90 \sqrt{3}\,\text{см}^3 \] --- ## Итоговые ответы: - **Площадь полной поверхности:** \(\boxed{12 \sqrt{3} + 270\,\text{см}^2}\) - **Объем:** \(\boxed{90 \sqrt{3}\,\text{см}^3}\) Если нужны более точные десятичные значения, можно вычислить: \[ \sqrt{3} \approx 1.732 \] Тогда: \[ \boxed{ \begin{aligned} S_{полн} &\approx 12 \times 1.732 + 270 \approx 20.78 + 270 = 290.78\,\text{см}^2 \\ V &\approx 90 \times 1.732 \approx 155.88\,\text{см}^3 \end{aligned} } \] Если есть вопросы — спрашивайте!