Основания прямой призмы - треугольник со сторонами 8 см и 3 см и углом между ними 60°. Высота призмы 15 см. Найдите площадь полной поверхности и объём призмы
Давайте поэтапно решим задачу по геометрии.
Дано:
- Основание — треугольник со сторонами 8 см и 3 см, и углом между ними 60°.
- Высота призмы — 15 см.
- Требуется найти: площадь полной поверхности и объем призмы.
Шаг 1: Найти площадь основания — треугольника
Треугольник дан двумя сторонами и углом между ними. Это удобный случай для применения формулы площади через две стороны и угол:
\[ S_{основания} = \frac{1}{2}ab \sin \theta \]
где:
- \(a = 8\,\text{см}\),
- \(b = 3\,\text{см}\),
- \(\theta = 60^\circ\).
Подставим:
\[ S_{основания} = \frac{1}{2} \times 8 \times 3 \times \sin 60^\circ \]
Знаем, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда:
\[ S_{основания} = 4 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Ответ: площадь одного основания равна \(6 \sqrt{3}\,\text{см}^2\).
Шаг 2: Найти площадь полной поверхности призмы
Площадь полной поверхности — это сумма площади двух оснований и площадей боковых сторон.
2.1. Площадь двух оснований:
\[ S_{основания} \times 2 = 2 \times 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}\,\text{см}^2 \]
2.2. Боковые поверхности:
Они — это прямолинейные поверхности, соединяющие соответствующие стороны оснований.
Обозначим стороны основания:
- сторона \(a = 8\,\text{см}\),
- сторона \(b = 3\,\text{см}\),
- третьей стороны находить не нужно, так как она найдется после.
Для боковых сторон — высоты, параллельные образующим ребрам основания — равны высоте призмы, т.е., 15 см.
Теперь найдём длины сторон треугольника, а также боковые поверхности:
- Боковая поверхность, прилегающая к стороне 8 см: \(A_1 = 8 \times 15 = 120\,\text{см}^2\)
- Боковая поверхность, прилегающая к стороне 3 см: \(A_2 = 3 \times 15 = 45\,\text{см}^2\)
Нужно также найти сторону треугольника, которая не дана — то есть третью сторону \(\text{c}\).
Шаг 3: Найти третью сторону треугольника
Используем закон косинусов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta \]
Подставим:
\[ c^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \times 8 \times 3 \times \cos 60^\circ \]
Знаем, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Тогда:
\[ c^2 = 64 + 9 - 2 \times 8 \times 3 \times \frac{1}{2} \]
Вычислим:
\[ c^2 = 73 - (2 \times 8 \times 3 \times \frac{1}{2}) = 73 - (8 \times 3) = 73 - 24 = 49 \]
Ответ:
\[ c = \sqrt{49} = 7\,\text{см} \]
Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно стороны основания:
- \(a=8\,\textсм}\)
- \(b=3\,\textсм}\)
- \(c=7\,\textсм}\)
Три боковые стороны, их площади:
- \(8 \times 15 = 120\,\text{см}^2\)
- \(3 \times 15 = 45\,\text{см}^2\)
- \(7 \times 15 = 105\,\text{см}^2\)
Общая боковая площадь:
\[ A_{боковая} = 120 + 45 + 105 = 270\,\text{см}^2 \]
Итог: площадь полной поверхности
\[ S_{полн} = \text{площадь двух оснований} + \text{площадь боковых сторон} \]
\[ S_{полн} = 12 \sqrt{3} + 270\,\text{см}^2 \]
Шаг 4: Найти объем призмы
Объем равен площади основания, умноженной на высоту призмы:
\[ V = S_{основания} \times h \]
\[ V = 6 \sqrt{3} \times 15 = 90 \sqrt{3}\,\text{см}^3 \]
Итоговые ответы:
- Площадь полной поверхности: \(\boxed{12 \sqrt{3} + 270\,\text{см}^2}\)
- Объем: \(\boxed{90 \sqrt{3}\,\text{см}^3}\)
Если нужны более точные десятичные значения, можно вычислить:
\[ \sqrt{3} \approx 1.732 \]
Тогда:
\[ \boxed{ \begin{aligned} S_{полн} &\approx 12 \times 1.732 + 270 \approx 20.78 + 270 = 290.78\,\text{см}^2 \\ V &\approx 90 \times 1.732 \approx 155.88\,\text{см}^3 \end{aligned} } \]
Если есть вопросы — спрашивайте!
