Из приведённых на рисунке напряжённых состояний (напряжения – в МПа) для пластичного материала в соответствии с гипотезой максимальных касательных напряжений (гипотеза Треска ‒ Сен-Венана) наиболее опасным является…
3.2_11
Выберите один ответ:
а
б
определить наиболее опасное состояние нельзя – не хватает данных
в
все напряженные состояния равноопасны
Рассмотрим задачи на определение наиболее опасного напряженного состояния, исходя из гипотезы максимальных касательных напряжений (гипотеза Трецька – Сен-Венана). Эта гипотеза говорит о том, что разрушение происходит в том месте, где максимальные касательные напряжения достигают критического значения.
Для решения нужно определить, какая из трех представленных схем имеет самое большое максимальное касательное напряжение.
### Дано:
- Первый случай (а): напряжения — \(\sigma_x = 50\,\text{МПа}\), \(\sigma_y = 110\,\text{МПа}\), \(\tau_{xy} = 40\,\text{МПа}\).
- Второй случай (б): \(\sigma_x = 90\,\text{МПа}\), \(\sigma_y = 70\,\text{МПа}\), \(\tau_{xy} = 70\,\text{МПа}\).
- Третий случай (в): \(\sigma_x = 80\,\text{МПа}\), \(\sigma_y = 0\,\text{МПа}\), \(\tau_{xy} = 0\,\text{МПа}\).
### Пошаговое решение:
1. В соответствии с гипотезой Трецька–Сен-Венана, максимальные касательные напряжения (\(\tau_{max}\)) для двухмерного напряженного состояния вычисляются по формуле:
\[
\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}
\]
2. Рассчитаем для каждого варианта:
#### Вариант **(а)**:
\[
\sigma_x = 50,\quad \sigma_y = 110,\quad \tau_{xy} = 40
\]
\[
\Delta \sigma = \sigma_x - \sigma_y = 50 - 110 = -60
\]
\[
\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{-60}{2}\right)^2 + 40^2} = \sqrt{(-30)^2 + 1600} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\,\text{МПа}
\]
#### Вариант **(б)**:
\[
\sigma_x = 90,\quad \sigma_y = 70,\quad \tau_{xy} = 70
\]
\[
\Delta \sigma = 90 - 70 = 20
\]
\[
\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{20}{2}\right)^2 + 70^2} = \sqrt{10^2 + 4900} = \sqrt{100 + 4900} = \sqrt{5000} \approx 70.7\,\text{МПа}
\]
#### Вариант **(в)**:
\[
\sigma_x = 80,\quad \sigma_y=0,\quad \tau_{xy} = 0
\]
\[
\Delta \sigma= 80 - 0 = 80
\]
\[
\tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{80}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{40^2} = 40\,\text{МПа}
\]
### Итоги:
- Вариант (а): \(\tau_{max} = 50\,\text{МПа}\)
- Вариант (б): \(\tau_{max} \approx 70.7\,\text{МПа}\)
- Вариант (в): \(\tau_{max} = 40\,\text{МПа}\)
**Наиболее опасным** считается состояние с наибольшим максимально касательным напряжением — в данном случае это **вариант (б)**.
---
## Ответ:
**б**
