Из приведённых на рисунке напряжённых состояний (напряжения – в МПа) для пластичного материала в соответствии с гипотезой максимальных касательных напряжений (гипотеза Треска ‒…

Рассмотрим задачи на определение наиболее опасного напряженного состояния, исходя из гипотезы максимальных касательных напряжений (гипотеза Трецька – Сен-Венана). Эта гипотеза говорит о том, что разрушение происходит в том месте, где максимальные касательные напряжения достигают критического значения.

Для решения нужно определить, какая из трех представленных схем имеет самое большое максимальное касательное напряжение.

Дано:

• Первый случай (а): напряжения — \(\sigma_x = 50\,\text{МПа}\), \(\sigma_y = 110\,\text{МПа}\), \(\tau_{xy} = 40\,\text{МПа}\).
• Второй случай (б): \(\sigma_x = 90\,\text{МПа}\), \(\sigma_y = 70\,\text{МПа}\), \(\tau_{xy} = 70\,\text{МПа}\).
• Третий случай (в): \(\sigma_x = 80\,\text{МПа}\), \(\sigma_y = 0\,\text{МПа}\), \(\tau_{xy} = 0\,\text{МПа}\).

Пошаговое решение:

1. В соответствии с гипотезой Трецька–Сен-Венана, максимальные касательные напряжения (\(\tau_{max}\)) для двухмерного напряженного состояния вычисляются по формуле: \[ \tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]

2. Рассчитаем для каждого варианта:

Вариант (а):

\[ \sigma_x = 50,\quad \sigma_y = 110,\quad \tau_{xy} = 40 \] \[ \Delta \sigma = \sigma_x - \sigma_y = 50 - 110 = -60 \] \[ \tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{-60}{2}\right)^2 + 40^2} = \sqrt{(-30)^2 + 1600} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\,\text{МПа} \]

Вариант (б):

\[ \sigma_x = 90,\quad \sigma_y = 70,\quad \tau_{xy} = 70 \] \[ \Delta \sigma = 90 - 70 = 20 \] \[ \tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{20}{2}\right)^2 + 70^2} = \sqrt{10^2 + 4900} = \sqrt{100 + 4900} = \sqrt{5000} \approx 70.7\,\text{МПа} \]

Вариант (в):

\[ \sigma_x = 80,\quad \sigma_y=0,\quad \tau_{xy} = 0 \] \[ \Delta \sigma= 80 - 0 = 80 \] \[ \tau_{max} = \sqrt{\left(\frac{80}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{40^2} = 40\,\text{МПа} \]

Итоги:

• Вариант (а): \(\tau_{max} = 50\,\text{МПа}\)
• Вариант (б): \(\tau_{max} \approx 70.7\,\text{МПа}\)
• Вариант (в): \(\tau_{max} = 40\,\text{МПа}\)

Наиболее опасным считается состояние с наибольшим максимально касательным напряжением — в данном случае это вариант (б).

Ответ:

б