Эквивалентное напряжение по гипотезе максимальных касательных напряжений (гипотеза Треска ‒ Сен-Венана) σэкв =... (МПа) 3.2_04 Выберите один ответ: 150 100 170 70 120

Для решения задачи по гипотезе максимальных касательных напряжений (гипотеза Треска — Сен-Венана) нам нужно найти эквивалентное напряжение σэкв, исходя из максимальных касательных напряжений и нормальных напряжений в элементе.

Шаг 1. Запись данных

• Напряжения в узлах:
  \(\sigma_x = 20\, \text{МПа}\)
  \(\sigma_y = 50\, \text{МПа}\)
  \(\sigma_z = 100\, \text{МПа}\)

• Нейтральные касательные напряжения (по диагоналям):
  \( \tau_{xy} = 20\, \text{МПа} \)
  \( \tau_{yz} = 50\, \text{МПа} \)
  \( \tau_{xz} = 100\, \text{МПа} \)

Но в оригинальной формулировке и изображении указаны только нормальные напряжения, а касательные могут быть равны нулю, если не указано иное. В данном случае, по вниманию, предполагается, что касательные не заданы, значит они равны нулю, а нормальные напряжения по осям:

• \(\sigma_x = 20\, \text{МПа}\)
• \(\sigma_y = 50\, \text{МПа}\)
• \(\sigma_z = 100\, \text{МПа}\)

Шаг 2. Вспоминаем гипотезу Треска — Сен-Венана
Эквивалентное напряжение по этой гипотезе выражается как:

\[ \sigma_{экв} = \sqrt{ \sigma_1^2 - \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2^2 } \]

где \(\sigma_1\) и \(\sigma_2\) — главные нормальные напряжения.

Шаг 3. Определяем главные напряжения

Для главных напряжений в 3D случае используют характеристические уравнения или формулы для главных напряжений:

\[ \sigma_{1,2,3} = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{3} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y - \sigma_z}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_z - \sigma_x}{2}\right)^2 + 2(\tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2 + \tau_{yz}^2) } \]

Поскольку касательные, судя по изображению, равны нулю, вычисляем только главные нормальные напряжения.

Среднее значение:

\[ \frac{20 + 50 + 100}{3} = \frac{170}{3} \approx 56.67\, \text{МПа} \]

Разности:

\[ \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} = \frac{20 - 50}{2} = -15\, \text{МПа} \] \[ \frac{\sigma_y - \sigma_z}{2} = \frac{50 - 100}{2} = -25\, \text{МПа} \] \[ \frac{\sigma_z - \sigma_x}{2} = \frac{100 - 20}{2} = 40\, \text{МПа} \]

Так как касательные равны нулю, добавляем только сумму квадратичных разностей:

\[ \sqrt{(-15)^2 + (-25)^2 + 40^2} = \sqrt{225 + 625 + 1600} = \sqrt{2450} \approx 49.5 \]

Теперь главные напряжения:

\[ \sigma_{1,2} = 56.67 \pm 49.5 \]

Что дает:

\[ \sigma_1 \approx 56.67 + 49.5 = 106.17\, \text{МПа} \] \[ \sigma_2 \approx 56.67 - 49.5 = 7.17\, \text{МПа} \]

Третий главной напряжение — среднее значение — может быть:

\[ \sigma_3 = 0\, \text{МПа} \quad (\так как другие нормальные напряжения не учитываются или также равны 0) \]

Для гипотезы Треска — Сен-Венана обычно используют два главных напряжения, предполагая, что касательные равны нулю.

Шаг 4. Вычисление эквивалентного напряжения:

\[ \sigma_{экв} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2^2} \]

Подставляем значения:

\[ \sigma_{экв} = \sqrt{(106.17)^2 - 106.17 \times 7.17 + (7.17)^2} \]

Рассчитаем по частям:

\[ (106.17)^2 \approx 11277.6 \] \[ 106.17 \times 7.17 \approx 760.66 \] \[ (7.17)^2 \approx 51.4 \]

Итак,

\[ \sigma_{экв} = \sqrt{11277.6 - 760.66 + 51.4} = \sqrt{11277.6 - 709.26} = \sqrt{10568.34} \approx 102.8\, \text{МПа} \]

Приблизительно — 103 МПа, ближе к 100 МПа.

Ответ: 100 МПа.

---

Выбор варианта: 100.

ИТОГ:

\(\boxed{\sigma_{экв} \approx 100\, \text{МПа}}\)

Правильный ответ: 100