Даны точки А(1; 2;-1), B(2; 3; 0), С(3; 6; -3). Чему равен косинус угла между векторами АВ и АС? Результат умножить на 43. Ответ:

Давайте пошагово решим задачу.

Шаг 1. Найдём векторы АВ и АС

Даны точки:

• \(A(1; 2; -1)\)
• \(B(2; 3; 0)\)
• \(C(3; 6; -3)\)

Вектор \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\): \[ \vec{AB} = (2 - 1,\, 3 - 2,\, 0 - (-1)) = (1, 1, 1) \]

Вектор \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\): \[ \vec{AC} = (3 - 1,\, 6 - 2,\, -3 - (-1)) = (2, 4, -2) \]

Шаг 2. Найдём длины векторов

Длина вектора \(\vec{AB}\): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \]

Длина вектора \(\vec{AC}\): \[ |\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Шаг 3. Найдём скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\)

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(2) + (1)(4) + (1)(-2) = 2 + 4 - 2 = 4 \]

Шаг 4. Найдём косинус угла между векторами

Формула: \[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \]

Подставим значения: \[ \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{3} \times 2\sqrt{6}} \]

Упростим знаменатель: \[ \sqrt{3} \times 2\sqrt{6} = 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{6} \]

Так как \(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\),

то: \[ 2 \times 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \]

Поэтому: \[ \cos \theta = \frac{4}{6 \sqrt{2}} = \frac{2}{3 \sqrt{2}} \]

Рассмотрим рационализацию: \[ \frac{2}{3 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{3} \]

Итак: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3} \]

Шаг 5. Умножим результат на 43

\[ \frac{\sqrt{2}}{3} \times 43 = \frac{43 \sqrt{2}}{3} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{43 \sqrt{2}}{3}} \]