Давайте пошагово решим задачу.
Шаг 1. Найдём векторы АВ и АС
Даны точки:
- (A(1; 2; -1))
- (B(2; 3; 0))
- (C(3; 6; -3))
Вектор (\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}):
[
\vec{AB} = (2 - 1,, 3 - 2,, 0 - (-1)) = (1, 1, 1)
]
Вектор (\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}):
[
\vec{AC} = (3 - 1,, 6 - 2,, -3 - (-1)) = (2, 4, -2)
]
Шаг 2. Найдём длины векторов
Длина вектора (\vec{AB}):
[
|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}
]
Длина вектора (\vec{AC}):
[
|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
]
Шаг 3. Найдём скалярное произведение (\vec{AB} \cdot \vec{AC})
[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(2) + (1)(4) + (1)(-2) = 2 + 4 - 2 = 4
]
Шаг 4. Найдём косинус угла между векторами
Формула:
[
\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}
]
Подставим значения:
[
\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{3} \times 2\sqrt{6}}
]
Упростим знаменатель:
[
\sqrt{3} \times 2\sqrt{6} = 2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{6}
]
Так как (\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}),
то:
[
2 \times 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}
]
Поэтому:
[
\cos \theta = \frac{4}{6 \sqrt{2}} = \frac{2}{3 \sqrt{2}}
]
Рассмотрим рационализацию:
[
\frac{2}{3 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}
]
Итак:
[
\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}
]
Шаг 5. Умножим результат на 43
[
\frac{\sqrt{2}}{3} \times 43 = \frac{43 \sqrt{2}}{3}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{43 \sqrt{2}}{3}}
]
