Рассчитаем прогиб балки в точке А по заданной схеме.
Шаг 1. Исходные данные:
Общая длина балки: (L = 50,см = 0.5,м )
(L_1 = 1,8L = 1,8 \times 0.5,м = 0,9,м )
(L_2 = 1,8L = 0,9,м )
Получаем: точка А расположена с левого края, а длины (L_1) и (L_2) определяют расположение нагрузок и моментов.
Нагрузка: (P = 0.8,кН = 800,Н)
Сила F: (F = 1.4P = 1.4 \times 800,Н = 1120,Н)
Момент: (M = -6PL = -6 \times 800,Н \times 0.5,м = -2400,Н·м )
Модуль упругости: (E = 209,ГПа = 209 \times 10^9,Па)
Миндуль второй момент: (I_x = 198,см^4 = 198 \times 10^{-8},м^4)
Шаг 2. Анализ конструкции
Поскольку в условии много деталей, предположим:
- Балка закреплена слева, в точке A.
- Имеется постоянная нагрузка (F) в середине между L1 и L2.
- Внешний момент M приложен в начале балки.
- Также есть приложения точечных усилий и моментов, влияющих на прогиб.
Для решения сделаем ориентир на классическую схему расчёта прогибов для балки с точечными нагрузками, М и F.
Шаг 3. Расчет прогиба с учетом нагрузки F и момента M
Общая формула для прогиба в точке A при вертикальной нагрузке (например, F) и моменте M, рассматривая их как независимые действия:
[
\delta_A = \delta_{F} + \delta_{M}
]
где:
- (\delta_{F}) — прогиб от вертикальной силы F.
- (\delta_{M}) — прогиб от момента M.
Прогиб от вертикальной силы F:
Для балки с условием закрепления слева при вертикальной нагрузке в точке изгиба:
[
\delta_{F} = \frac{F \cdot L_1^3}{3 \cdot E \cdot I}
]
где (L_1 = 0.9,м). Расчитаем:
[
\delta_{F} = \frac{1120,Н \times (0.9,м)^3}{3 \times 209 \times 10^9,Па \times 198 \times 10^{-8},м^4}
]
В числителе:
[
1120 \times 0.9^3 = 1120 \times 0.729 = 816.48
]
в знаменателе:
[
3 \times 209 \times 10^9 \times 198 \times 10^{-8} = 3 \times 209 \times 198 \times 10^{9-8} = 3 \times 209 \times 198 \times 10^{1}
]
Посчитаем:
[
209 \times 198 = 41442
]
Тогда:
[
3 \times 41442 \times 10^1 = 124326 \times 10 = 1,243,260
]
Таким образом:
[
\delta_{F} = \frac{816.48}{1,243,260} \approx 0.000656,м
]
В мм:
[
0.000656,м \times 1000 = 0.656,мм
]
Прогиб от момента M:
Прогиб от момента для закрепленной балки:
[
\delta_{M} = \frac{M \times L_1^2}{2 \times E \times I}
]
Подставим значения:
[
M = -2400,Н·м,\quad L_1 = 0.9,м
]
[
\delta_{M} = \frac{(-2400) \times (0.9)^2}{2 \times 209 \times 10^9 \times 198 \times 10^{-8}}
]
В числителе:
[
-2400 \times 0.81 = -1944
]
Знаменатель:
[
2 \times 209 \times 198 \times 10^{9 -8} = 2 \times 209 \times 198 \times 10^{1}
]
Что в числителе:
[
2 \times 209 \times 198 = 2 \times 41442 = 82,884
]
Тогда:
[
\delta_{M} = \frac{-1944}{82,884 \times 10} = \frac{-1944}{828,840} \approx -0.002345,м
]
В мм:
[
-0.002345,м \times 1000 = -2.345,мм
]
Общий прогиб:
[
\delta_{A} = \delta_{F} + \delta_{M} \approx 0.656,мм - 2.345,мм = -1.689,мм
]
Положительный прогиб в верхней части, поэтому принимаем знак с учетом направления:
Ответ:
[
\boxed{1.69,мм}
]
(округление до 3 знаков после запятой, знак "положительный" означает с учетом направления вверх).
ИТОГ:
Ответ: (\boxed{1.69,мм})
