Давайте решим задачу о вероятности того, что среди трёх случайно выбранных карт из колоды из 36 карт окажется хотя бы одна карта трефовой масти.
Шаг 1. Определим общее количество карт и условие задачи
- Общий размер колоды: 36 карт.
- Карты делятся на 4 масти по 9 карт каждая:
- Трефы (♣)
- Бубны (♦)
- Червы (♥)
- Пики (♠)
Нам нужно найти вероятность того, что среди выбранных трёх карт будет хотя бы одна карта трефовой масти.
Шаг 2. Используем дополнение
Вероятность события "хотя бы одна трефа" равна:
[
P(\text{хотя бы одна трефа}) = 1 - P(\text{не будет ни одной трефы})
]
То есть, сначала найдём вероятность того, что все три выбранные карты — не трефы, а затем вычтем из 1.
Шаг 3. Найдём вероятность того, что все выбранные карты не трефы
- Карты, не трефы, — это карты из оставшихся 27 (36 - 9).
- Общее количество способов выбрать 3 карты из всей колоды:
[
\binom{36}{3}
]
- Количество способов выбрать 3 карты из не трефовых:
[
\binom{27}{3}
]
Шаг 4. Вычислим вероятность того, что все три карты — не трефы
[
P(\text{все не трефы}) = \frac{\binom{27}{3}}{\binom{36}{3}}
]
Шаг 5. Рассчитаем комбинации
- (\binom{36}{3} = \frac{36 \times 35 \times 34}{3 \times 2 \times 1} = 7140)
- (\binom{27}{3} = \frac{27 \times 26 \times 25}{3 \times 2 \times 1} = 2925)
Шаг 6. Вычисляем вероятность
[
P(\text{все не трефы}) = \frac{2925}{7140}
]
Сократим дробь:
[
\frac{2925}{7140} \div \frac{15}{15} = \frac{195}{476}
]
Шаг 7. Найдём итоговую вероятность
[
P(\text{хотя бы одна трефа}) = 1 - \frac{195}{476} = \frac{476 - 195}{476} = \frac{281}{476}
]
Итог:
Вероятность того, что среди трёх случайных карт будет хотя бы одна трефа — (\frac{281}{476}).
Если нужно более точное приближение, то это примерно:
[
\frac{281}{476} \approx 0.590
]
то есть около 59,0%.
