Вычислите площадь земли,отведенного под клумбу ,периметр которого ограничевуют у=х2-2х-2 и у=-х2+2

Обозначим функции как:
\( y_1 = x^2 - 2x - 2 \)
и
\( y_2 = -x^2 + 2 \).

Чтобы найти площадь области, ограниченной этими кривыми, нужно определить точки пересечения и интегрировать разность функций по соответствующим границам.

Шаг 1: Найти точки пересечения функций

Решим уравнение \( y_1 = y_2 \): \[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \] Переносим все в левую часть: \[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \] \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \] Делим обе части на 2: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Решим это уравнение: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] Значит, корни: \[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -1 \]

Шаг 2: Определим, какая функция сверху, а какая снизу в интервале \([-1, 2]\)

Проверим значения функции в точке \(x=0\): \[ y_1(0) = 0 - 0 - 2 = -2 \] \[ y_2(0) = -0 + 2 = 2 \] Т.к. \( y_2(0) > y_1(0) \), сверху находится \( y_2 \), снизу — \( y_1 \).

Шаг 3: Вычисляем площадь

Площадь области между кривыми выражается интегралом:

\[ S = \int_{-1}^{2} [y_{верх} - y_{низ}] dx = \int_{-1}^{2} [(-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)] dx \]

Рассчитаем подын integrал:

\[ (-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2) = -x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2 = -2x^2 + 2x + 4 \]

Итак,

\[ S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \]

Вычисляем сам интеграл:

\[ \int (-2x^2 + 2x + 4) dx = -2 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x = -\frac{2}{3} x^3 + x^2 + 4x \]

Теперь подставим пределы:

\[ S = \left[ -\frac{2}{3} x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \]

На границе \( x=2 \):

\[ -\frac{2}{3} (2)^3 + (2)^2 + 4 \cdot 2 = -\frac{2}{3} \cdot 8 + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 4 + 8 \] \[ = -\frac{16}{3} + \frac{12}{3} + \frac{24}{3} = \frac{-16 + 12 + 24}{3} = \frac{20}{3} \]

На границе \( x=-1 \):

\[ -\frac{2}{3} (-1)^3 + (-1)^2 + 4 \cdot (-1) = -\frac{2}{3}(-1) + 1 - 4 = \frac{2}{3} + 1 - 4 \] \[ = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} - \frac{12}{3} = \frac{2 + 3 - 12}{3} = \frac{-7}{3} \]

Разница:

\[ S = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]

Ответ: площадь земли, ограниченной кривыми, равна 9 квадратных единиц.