Рассмотрим задачи, связанные с определением наиболее опасного напряжённого состояния по гипотезе Треска — Сен-Венана, которая гласит, что материал начинает разрушаться при достижении максимальной касательной напряжённости.
На рисунке изображены три варианта напряжённых состояний для пластичного материала в виде куба, с указанными напряжениями в МПа:
- а) (\sigma_x = 60), (\sigma_y = 40), (\sigma_z = 60)
- б) (\sigma_x = 140), (\sigma_y = 10), (\sigma_z = 10)
- в) (\sigma_x = 90), (\sigma_y = 50), (\sigma_z = 10)
Шаг 1: Определяем главный напряжения (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)
Главные напряжения — это особые значения нормальных напряжений, при которых касательные равны нулю. В случае трёхмерных напряжений, они удовлетворяются характеристическим уравнением, но иногда можно предположить, что в данных задачах для оценки опасности достаточно рассматривать напряжения по осям.
Шаг 2: Рассчитываем касательные напряжения по гипотезе Треска — Сен-Венана
Гипотеза гласит, что разрушение происходит при достижении максимальной касательной напряжённости (\tau_{max}), которая определяется по формуле:
[
\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}
]
где (\sigma_1) — максимальное главное напряжение, а (\sigma_3) — минимальное.
Шаг 3: Анализируем каждое из состояний
Для состояния а):
(\sigma_x=60,\ \sigma_y=40,\ \sigma_z=60)
Максимальное — 60 МПа, минимальное — 40 МПа
[
\tau_{max} = \frac{60 - 40}{2} = 10, \text{МПа}
]
Для состояния б):
(\sigma_x=140,\ \sigma_y=10,\ \sigma_z=10)
Максимальное — 140 МПа, минимальное — 10 МПа
[
\tau_{max} = \frac{140 - 10}{2} = 65, \text{МПа}
]
Для состояния в):
(\sigma_x=90,\ \sigma_y=50,\ \sigma_z=10)
Максимальное — 90 МПа, минимальное — 10 МПа
[
\tau_{max} = \frac{90 - 10}{2} = 40, \text{МПа}
]
Шаг 4: Вывод
Наиболее опасное состояние — это то, при котором касательное напряжение (\tau_{max}) достигает наиболее высокого значения, так как гипотеза Треска — Сен-Венана указывает, что разрушение происходит при наибольшей касательной.
Таким образом, наиболее опасным является состояние б), где (\tau_{max} = 65, \text{МПа}).
Ответ: "а" — вторая вариация.
