Из приведённых на рисунке напряжённых состояний (напряжения – в МПа) для пластичного материала в соответствии с гипотезой максимальных касательных напряжений (гипотеза Треска ‒…

Рассмотрим задачи, связанные с определением наиболее опасного напряжённого состояния по гипотезе Треска — Сен-Венана, которая гласит, что материал начинает разрушаться при достижении максимальной касательной напряжённости.

На рисунке изображены три варианта напряжённых состояний для пластичного материала в виде куба, с указанными напряжениями в МПа:

• а) \(\sigma_x = 60\), \(\sigma_y = 40\), \(\sigma_z = 60\)
• б) \(\sigma_x = 140\), \(\sigma_y = 10\), \(\sigma_z = 10\)
• в) \(\sigma_x = 90\), \(\sigma_y = 50\), \(\sigma_z = 10\)

Шаг 1: Определяем главный напряжения \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\)
Главные напряжения — это особые значения нормальных напряжений, при которых касательные равны нулю. В случае трёхмерных напряжений, они удовлетворяются характеристическим уравнением, но иногда можно предположить, что в данных задачах для оценки опасности достаточно рассматривать напряжения по осям.

Шаг 2: Рассчитываем касательные напряжения по гипотезе Треска — Сен-Венана
Гипотеза гласит, что разрушение происходит при достижении максимальной касательной напряжённости \(\tau_{max}\), которая определяется по формуле:

\[ \tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \]

где \(\sigma_1\) — максимальное главное напряжение, а \(\sigma_3\) — минимальное.

Шаг 3: Анализируем каждое из состояний

• Для состояния а):

  \(\sigma_x=60,\ \sigma_y=40,\ \sigma_z=60\)

  Максимальное — 60 МПа, минимальное — 40 МПа

  \[ \tau_{max} = \frac{60 - 40}{2} = 10\, \text{МПа} \]

• Для состояния б):

  \(\sigma_x=140,\ \sigma_y=10,\ \sigma_z=10\)

  Максимальное — 140 МПа, минимальное — 10 МПа

  \[ \tau_{max} = \frac{140 - 10}{2} = 65\, \text{МПа} \]

• Для состояния в):

  \(\sigma_x=90,\ \sigma_y=50,\ \sigma_z=10\)

  Максимальное — 90 МПа, минимальное — 10 МПа

  \[ \tau_{max} = \frac{90 - 10}{2} = 40\, \text{МПа} \]

Шаг 4: Вывод
Наиболее опасное состояние — это то, при котором касательное напряжение \(\tau_{max}\) достигает наиболее высокого значения, так как гипотеза Треска — Сен-Венана указывает, что разрушение происходит при наибольшей касательной.

Таким образом, наиболее опасным является состояние б), где \(\tau_{max} = 65\, \text{МПа}\).

Ответ: "а" — вторая вариация.