Имеются данные о количестве сделок на фондовой бирже за неделю (Х – число сделок, n – число инвесторов): 𝑥 𝑖 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑛 𝑖 4 6 8 7 4 3 2 1 Оценить с надежностью 0,99…
Имеются данные о количестве сделок на фондовой бирже за неделю (Х – число сделок, n – число инвесторов): 𝑥 𝑖 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑛 𝑖 4 6 8 7 4 3 2 1 Оценить с надежностью 0,99 среднее количество сделок на бирже за неделю по выборочной средней при помощи доверительного интервала. Введите значение 𝑡 𝛾 (целую часть числа от дробной отделяйте запятой).
Давайте вместе решим задачу по оценке среднего количества сделок на бирже за неделю с помощью доверительного интервала при надежности 0,99.
Шаг 1. Обработка исходных данных
Дано:
| Число сделок за день (Xi) | Количество инвесторов (ni) |
|---|---|
| 0 | 4 |
| 1 | 6 |
| 2 | 8 |
| 3 | 7 |
| 4 | 4 |
| 5 | 3 |
| 6 | 2 |
| 7 | 1 |
Общее количество инвесторов:
\[ N = \sum_{i=1}^{8} n_i = 4 + 6 + 8 + 7 + 4 + 3 + 2 + 1 = 35 \]
Шаг 2. Расчет выборочной средней \(\bar{x}\)
Вычислим взвешенную среднюю:
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{8} x_i \times n_i}{N} \]
Подставим значения:
\[ \bar{x} = \frac{0 \times 4 + 1 \times 6 + 2 \times 8 + 3 \times 7 + 4 \times 4 + 5 \times 3 + 6 \times 2 + 7 \times 1}{35} \]
Вычислим числитель:
\[ 0 + 6 + 16 + 21 + 16 + 15 + 12 + 7 = 93 \]
Следовательно,
\[ \boxed{\bar{x} = \frac{93}{35} \approx 2.6571} \]
Шаг 3. Расчет выборочной дисперсии \(s^2\)
Для оценки дисперсии используем взвешенный дисперсионный показатель. Расчет стандартной формулы:
\[ s^2 = \frac{1}{N - 1} \sum_{i=1}^{8} n_i (x_i - \bar{x})^2 \]
Посчитаем каждое слагаемое:
| \(x_i\) | \(n_i\) | \((x_i - \bar{x})\) | \((x_i - \bar{x})^2\) | \(n_i \times (x_i - \bar{x})^2\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 4 | \(-2.6571\) | 7.06 | \(4 \times 7.06 = 28.24\) |
| 1 | 6 | \(-1.6571\) | 2.75 | \(6 \times 2.75 = 16.5\) |
| 2 | 8 | \(-0.6571\) | 0.43 | \(8 \times 0.43 = 3.44\) |
| 3 | 7 | \(0.3429\) | 0.12 | \(7 \times 0.12 = 0.84\) |
| 4 | 4 | \(1.3429\) | 1.81 | \(4 \times 1.81 = 7.24\) |
| 5 | 3 | \(2.3429\) | 5.49 | \(3 \times 5.49 = 16.47\) |
| 6 | 2 | \(3.3429\) | 11.17 | \(2 \times 11.17= 22.34\) |
| 7 | 1 | \(4.3429\) | 18.87 | \(1 \times 18.87= 18.87\) |
Сумма:
\[ 28.24 + 16.5 + 3.44 + 0.84 + 7.24 + 16.47 + 22.34 + 18.87 \approx 113.7 \]
Теперь:
\[ s^2 = \frac{113.7}{35 - 1} = \frac{113.7}{34} \approx 3.34 \]
Шаг 4. Расчет доверительного интервала
Для 0,99 надежности используем t-распределение при \(\text{df} = N - 1 = 34\).
Значение \(t_{\alpha/2}\) для уровня 0,99 при 34 степенях свободы примерно равно:
\[ t_{0,005,34} \approx 2,728 \]
Доверительный интервал для среднего:
\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{N}} \]
Подставим значения:
\[ 2.6571 \pm 2.728 \times \frac{\sqrt{3.34}}{\sqrt{35}} \]
Вычислим:
\[ \sqrt{3.34} \approx 1.827 \] \[ \sqrt{35} \approx 5.916 \] \[ \frac{1.827}{5.916} \approx 0.3086 \]
Теперь:
\[ 2.728 \times 0.3086 \approx 0.842 \]
Итак, доверительный интервал:
\[ \boxed{ [2.6571 - 0.842, \; 2.6571 + 0.842] \approx [1.815, 3.499] } \]
Итоговая часть:
При надежности 0,99 оцениваем среднее число сделок как примерно от 1.815 до 3.499.
Значение \(t_\gamma\) — это величина, которую требуется подставить в формулу. В данном случае, значение \(t_\gamma \approx 2,728\).
Ответ:
\( \boxed{2,728} \)
