Давайте вместе решим задачу по оценке среднего количества сделок на бирже за неделю с помощью доверительного интервала при надежности 0,99.
Шаг 1. Обработка исходных данных
Дано:
| Число сделок за день (Xi) |
Количество инвесторов (ni) |
| 0 |
4 |
| 1 |
6 |
| 2 |
8 |
| 3 |
7 |
| 4 |
4 |
| 5 |
3 |
| 6 |
2 |
| 7 |
1 |
Общее количество инвесторов:
[
N = \sum_{i=1}^{8} n_i = 4 + 6 + 8 + 7 + 4 + 3 + 2 + 1 = 35
]
Шаг 2. Расчет выборочной средней (\bar{x})
Вычислим взвешенную среднюю:
[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{8} x_i \times n_i}{N}
]
Подставим значения:
[
\bar{x} = \frac{0 \times 4 + 1 \times 6 + 2 \times 8 + 3 \times 7 + 4 \times 4 + 5 \times 3 + 6 \times 2 + 7 \times 1}{35}
]
Вычислим числитель:
[
0 + 6 + 16 + 21 + 16 + 15 + 12 + 7 = 93
]
Следовательно,
[
\boxed{\bar{x} = \frac{93}{35} \approx 2.6571}
]
Шаг 3. Расчет выборочной дисперсии (s^2)
Для оценки дисперсии используем взвешенный дисперсионный показатель. Расчет стандартной формулы:
[
s^2 = \frac{1}{N - 1} \sum_{i=1}^{8} n_i (x_i - \bar{x})^2
]
Посчитаем каждое слагаемое:
| (x_i) |
(n_i) |
((x_i - \bar{x})) |
((x_i - \bar{x})^2) |
(n_i \times (x_i - \bar{x})^2) |
| 0 |
4 |
(-2.6571) |
7.06 |
(4 \times 7.06 = 28.24) |
| 1 |
6 |
(-1.6571) |
2.75 |
(6 \times 2.75 = 16.5) |
| 2 |
8 |
(-0.6571) |
0.43 |
(8 \times 0.43 = 3.44) |
| 3 |
7 |
(0.3429) |
0.12 |
(7 \times 0.12 = 0.84) |
| 4 |
4 |
(1.3429) |
1.81 |
(4 \times 1.81 = 7.24) |
| 5 |
3 |
(2.3429) |
5.49 |
(3 \times 5.49 = 16.47) |
| 6 |
2 |
(3.3429) |
11.17 |
(2 \times 11.17= 22.34) |
| 7 |
1 |
(4.3429) |
18.87 |
(1 \times 18.87= 18.87) |
Сумма:
[
28.24 + 16.5 + 3.44 + 0.84 + 7.24 + 16.47 + 22.34 + 18.87 \approx 113.7
]
Теперь:
[
s^2 = \frac{113.7}{35 - 1} = \frac{113.7}{34} \approx 3.34
]
Шаг 4. Расчет доверительного интервала
Для 0,99 надежности используем t-распределение при (\text{df} = N - 1 = 34).
Значение (t_{\alpha/2}) для уровня 0,99 при 34 степенях свободы примерно равно:
[
t_{0,005,34} \approx 2,728
]
Доверительный интервал для среднего:
[
\bar{x} \pm t_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{N}}
]
Подставим значения:
[
2.6571 \pm 2.728 \times \frac{\sqrt{3.34}}{\sqrt{35}}
]
Вычислим:
[
\sqrt{3.34} \approx 1.827
]
[
\sqrt{35} \approx 5.916
]
[
\frac{1.827}{5.916} \approx 0.3086
]
Теперь:
[
2.728 \times 0.3086 \approx 0.842
]
Итак, доверительный интервал:
[
\boxed{
[2.6571 - 0.842, ; 2.6571 + 0.842] \approx [1.815, 3.499]
}
]
Итоговая часть:
При надежности 0,99 оцениваем среднее число сделок как примерно от 1.815 до 3.499.
Значение (t_\gamma) — это величина, которую требуется подставить в формулу. В данном случае, значение (t_\gamma \approx 2,728).
Ответ:
( \boxed{2,728} )
