По данным выборки объема 𝑛=50 из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено исправленное среднее квадратическое отклонение 𝑆=14 .…

Давайте разберем задачу по шагам.

Дано:

• Размер выборки: \( n = 50 \)
• Исправленное среднее квадратическое отклонение выборки: \( S = 14 \)
• Надежность: 0,999
• Цель: найти доверительный интервал, который покрывает истинное среднее квадратическое отклонение \(\sigma\).

Шаг 1. Понимание задачи

Нам нужно построить доверительный интервал для параметра \(\sigma\) — генерального среднеквадратического отклонения. В статистике такие интервалы строятся с использованием распределения \(\chi^2\) (хи-квадрат).

Важно: поскольку у нас есть выборочное среднее квадратическое отклонение \(S\), которое является несмещенной оценкой \(\sigma\), и разделение выборки по независимым наблюдениям.

Шаг 2. Формула доверительного интервала для \(\sigma\)

Доверительный интервал для \( \sigma \) при условии, что данные нормально распределены, задается формулой:

\[ \left( S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{1-\alpha/2,\, n-1}}},\quad S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{\alpha/2,\, n-1}}} \right) \]

где:

• \( \chi^2_{p,\, n-1} \) — квантиль распределения \(\chi^2\) с \( n-1 \) степенями свободы на уровне \( p \),
• \( \alpha = 1 - \text{уровень доверия} \),
• у нас уровень доверия \( 0,999 \Rightarrow \alpha = 0,001 \).

Шаг 3. Находим квантиль \(\chi^2\)

Для доверительного интервала с уровнем доверия 0,999:

• \( \alpha/2 = 0,0005 \)
• \( 1 - \alpha/2 = 0,9995 \)

Нам нужны два значения:

• \(\chi^2_{0,0005,\, 49}\) — левый квантиль,
• \(\chi^2_{0,9995,\, 49}\) — правый квантиль.

Обращаясь к таблице \(\chi^2\) (или используя калькулятор):

• \(\chi^2_{0,0005,\, 49} \approx 17.27\),
• \(\chi^2_{0,9995,\, 49} \approx 83.30\).

Шаг 4. Расчет доверительного интервала

Подставляем в формулу:

\[ \text{нижняя граница} = S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{0.9995,\, 49}}} = 14 \sqrt{\frac{50}{83.30}} \]

\[ \text{верхняя граница} = S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{0.0005,\, 49}}} = 14 \sqrt{\frac{50}{17.27}} \]

Рассчитаем:

1. Нижняя граница:

\[ 14 \times \sqrt{\frac{50}{83.30}} \approx 14 \times \sqrt{0.600} \approx 14 \times 0.775 = 10.85 \]

2. Верхняя граница:

\[ 14 \times \sqrt{\frac{50}{17.27}} \approx 14 \times \sqrt{2.894} \approx 14 \times 1.703 = 23.84 \]

Ответ:

\[ \boxed{ (10.85,\; 23.84) } \]

Это доверительный интервал с надежностью 0,999, в котором с большой вероятностью содержится истинное среднеквадратическое отклонение \(\sigma\).