По данным выборки объема 𝑛=50 из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдено исправленное среднее квадратическое отклонение 𝑆=14 . Найдите с надежностью 0,999 доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение 𝜎 .

Давайте разберем задачу по шагам. **Дано:** - Размер выборки: \( n = 50 \) - Исправленное среднее квадратическое отклонение выборки: \( S = 14 \) - Надежность: 0,999 - Цель: найти доверительный интервал, который покрывает истинное среднее квадратическое отклонение \(\sigma\). --- ### Шаг 1. Понимание задачи Нам нужно построить доверительный интервал для **параметра** \(\sigma\) — генерального среднеквадратического отклонения. В статистике такие интервалы строятся с использованием распределения \(\chi^2\) (хи-квадрат). **Важно:** поскольку у нас есть выборочное среднее квадратическое отклонение \(S\), которое является несмещенной оценкой \(\sigma\), и разделение выборки по независимым наблюдениям. --- ### Шаг 2. Формула доверительного интервала для \(\sigma\) Доверительный интервал для \( \sigma \) при условии, что данные нормально распределены, задается формулой: \[ \left( S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{1-\alpha/2,\, n-1}}},\quad S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{\alpha/2,\, n-1}}} \right) \] где: - \( \chi^2_{p,\, n-1} \) — квантиль распределения \(\chi^2\) с \( n-1 \) степенями свободы на уровне \( p \), - \( \alpha = 1 - \text{уровень доверия} \), - у нас уровень доверия \( 0,999 \Rightarrow \alpha = 0,001 \). --- ### Шаг 3. Находим квантиль \(\chi^2\) Для доверительного интервала с уровнем доверия 0,999: - \( \alpha/2 = 0,0005 \) - \( 1 - \alpha/2 = 0,9995 \) Нам нужны два значения: - \(\chi^2_{0,0005,\, 49}\) — левый квантиль, - \(\chi^2_{0,9995,\, 49}\) — правый квантиль. Обращаясь к таблице \(\chi^2\) (или используя калькулятор): - \(\chi^2_{0,0005,\, 49} \approx 17.27\), - \(\chi^2_{0,9995,\, 49} \approx 83.30\). --- ### Шаг 4. Расчет доверительного интервала Подставляем в формулу: \[ \text{нижняя граница} = S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{0.9995,\, 49}}} = 14 \sqrt{\frac{50}{83.30}} \] \[ \text{верхняя граница} = S \sqrt{\frac{n}{\chi^2_{0.0005,\, 49}}} = 14 \sqrt{\frac{50}{17.27}} \] Рассчитаем: 1. Нижняя граница: \[ 14 \times \sqrt{\frac{50}{83.30}} \approx 14 \times \sqrt{0.600} \approx 14 \times 0.775 = 10.85 \] 2. Верхняя граница: \[ 14 \times \sqrt{\frac{50}{17.27}} \approx 14 \times \sqrt{2.894} \approx 14 \times 1.703 = 23.84 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ (10.85,\; 23.84) } \] Это доверительный интервал с надежностью 0,999, в котором с большой вероятностью содержится истинное среднеквадратическое отклонение \(\sigma\).