Задана дифференциальная функция распределения НСВ Х: 𝑓(𝑥)= ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 0,𝑥⩽0; 1 2 𝑥,0<𝑥⩽2; 0,𝑥>2. Найти вероятность того, что СВ Х примет значение, принадлежащее интервалу ( 1…

Рассмотрим заданную функцию распределения (ФР) случайной величины \(X\):

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \dfrac{1}{2}x, & 0 < x \leq 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases} \]

Задача — найти вероятность того, что \(X\) примет значение, принадлежащее интервалу \((\frac{1}{2}; 1)\).

Шаг 1. Понимание функции распределения

Функция распределения \(F(x)\) показывает вероятность того, что случайная величина \(X\) принимает значение меньше или равно \(x\).

Значения \(F(x)\) выглядят так:

• при \(x \leq 0\), \(F(x) = 0\),
• для \(0 < x \leq 2\), \(F(x) = \frac{1}{2}x\),
• при \(x > 2\), \(F(x) = 1\).

Шаг 2. Определение вероятности для интервала \((\frac{1}{2}; 1)\)

Вероятность того, что \(X\) попадет в интервал \((a, b)\), равна разности значений функции распределения в точках \(b\) и \(a\):

\[ P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) \]

Здесь:

• \(a = \frac{1}{2}\),
• \(b = 1\).

Часто для непрерывных случайных величин используют \(\leq\) в обоих случаях, так как вероятность равенства конкретной точки равна нулю, и это не повлияет на результат.

Шаг 3. Находим значения функции \(F(x)\) в точках

• \(F(1) = \frac{1}{2} \times 1 = 0,5\),
• \(F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0,25\).

Шаг 4. Расчет вероятности

\[ P\left(\frac{1}{2} < X \leq 1\right) = F(1) - F\left(\frac{1}{2}\right) = 0,5 - 0,25 = 0,25 \]

Итог:

Вероятность того, что \(X\) принимает значение в интервале \((\frac{1}{2}; 1)\), равна 0,25.

Ответ в запрошенном формате: 0,25 (целая часть — 0, запятая, дробная часть — 25).

Если есть дополнительные вопросы или задания, обращайтесь!