Решить уравнение : 1) √х^2+х+4=4. 2) √5-х -√5+х=2. 3) √2х+5 -√х+6=1. 4) √2х+1 -√х=1. 5) √х-2 +√х+6=4.

Давайте подробно решим каждое из заданных уравнений, объясняя шаг за шагом. В данном случае, так как параметры не указаны, я буду использовать общий подход, понятный для школьника средней школы. --- ### 1) Уравнение: \(\sqrt{x^2 + x + 4} = 4\) **Шаг 1:** Возьмём квадрат обеих частей, чтобы избавиться от корня: \[ (\sqrt{x^2 + x + 4})^2 = 4^2 \Rightarrow x^2 + x + 4 = 16 \] **Шаг 2:** Решаем quadratic уравнение: \[ x^2 + x + 4 = 16 \] \[ x^2 + x + 4 - 16 = 0 \] \[ x^2 + x - 12 = 0 \] **Шаг 3:** Решаем квадратичное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=1\), \(c=-12\). \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-12)}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm 7}{2} \] **Шаг 4:** Находим оба решения: - \(x = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\) - \(x = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\) **Шаг 5:** Проверка решений в исходном уравнении: - для \(x=3\): \[ \sqrt{3^2 + 3 + 4} = \sqrt{9 + 3 + 4} = \sqrt{16} = 4 \quad \checkmark \] - для \(x=-4\): \[ \sqrt{(-4)^2 + (-4) + 4} = \sqrt{16 - 4 + 4} = \sqrt{16} = 4 \quad \checkmark \] **Ответ:** **\(x=3\) и \(x=-4\)**. --- ### 2) Уравнение: \(\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 + x} = 2\) **Шаг 1:** Введём обозначения: Обозначим: \(\sqrt{5 - x} = A\), \(\sqrt{5 + x} = B\) Тогда уравнение: \[ A - B = 2 \] **Шаг 2:** Из этого следует: \[ A = B + 2 \] **Шаг 3:** По определению, \(A = \sqrt{5 - x}\), \(B = \sqrt{5 + x}\): \[ A^2 = 5 - x \] \[ B^2 = 5 + x \] **Шаг 4:** Проследим связь: \[ A = B + 2 \] Возьмём квадрат обеих частей: \[ A^2 = (B + 2)^2 = B^2 + 4B + 4 \] Подставим \(A^2 = 5 - x\), \(B^2 = 5 + x\): \[ 5 - x = (5 + x) + 4B + 4 \] **Шаг 5:** Упростим: \[ 5 - x = 5 + x + 4B + 4 \] \[ 5 - x = 9 + x + 4B \] Переносим все в левую сторону: \[ 5 - x - 9 - x = 4B \] \[ -4 - 2x = 4B \] Итак, \[ 4B = -4 - 2x \] \[ B = \frac{-4 - 2x}{4} = -1 - \frac{x}{2} \] **Шаг 6:** Помним, что \(B = \sqrt{5 + x}\). Значит, \[ \sqrt{5 + x} = -1 - \frac{x}{2} \] Но левый — корень, он неотрицателен, а правый — выражение, которое может быть отрицательным. Значит, условие: \[ -1 - \frac{x}{2} \ge 0 \] \[ -1 \ge \frac{x}{2} \] \[ -2 \ge x \] Также, чтобы найти \(x\), решим уравнение: \[ \sqrt{5 + x} = -1 - \frac{x}{2} \] Обе части должны быть равны, значит правый — неотрицателен: \[ -1 - \frac{x}{2} \ge 0 \] Теперь возьмём всё уравнение: \[ \sqrt{5 + x} = -1 - \frac{x}{2} \] **Шаг 7:** Возьмём квадрат обеих частей (учитывая знак правой части) — чтобы избавиться от корня: \[ 5 + x = \left(-1 - \frac{x}{2}\right)^2 \] Раскроем правую часть: \[ \left(-1 - \frac{x}{2}\right)^2 = 1 + 2 \times 1 \times \frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 1 + x + \frac{x^2}{4} \] **Шаг 8:** Получим уравнение: \[ 5 + x = 1 + x + \frac{x^2}{4} \] Отнимем \(1 + x\) с обеих сторон: \[ (5 + x) - (1 + x) = \frac{x^2}{4} \] \[ 4 = \frac{x^2}{4} \] Умножим обе части на 4: \[ 16 = x^2 \] Значит: \[ x = \pm 4 \] **Шаг 9:** Проверяем каждое решение в исходном уравнении: - для \(x=4\): \[ \sqrt{5 - 4} - \sqrt{5 + 4} = \sqrt{1} - \sqrt{9} = 1 - 3 = -2 \neq 2 \] **не подходит**. - для \(x=-4\): \[ \sqrt{5 - (-4)} - \sqrt{5 + (-4)} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 \] **подходит**. Проверка условий: \[ -1 - \frac{x}{2} \ge 0 \] \[ -1 - \frac{-4}{2} = -1 + 2 = 1 \ge 0 \] Верно. **Ответ:** \(\boxed{x = -4}\). --- ### 3) Уравнение: \(\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x + 6} = 1\) **Шаг 1:** Обозначим: \[ A = \sqrt{2x + 5}, \quad B = \sqrt{x + 6} \] Тогда: \[ A - B = 1 \] Из этого: \[ A = B + 1 \] **Шаг 2:** Возьмём квадрат обеих частей: \[ A^2 = (B+1)^2 = B^2 + 2B + 1 \] Но: \[ A^2 = 2x + 5 \] \[ B^2 = x + 6 \] Следовательно: \[ 2x + 5 = (x + 6) + 2B + 1 \] \[ 2x + 5 = x + 6 + 2B + 1 \] \[ 2x + 5 = x + 7 + 2B \] Переносим: \[ 2x - x + 5 - 7 = 2B \] \[ x - 2 = 2B \] анд \(B = \sqrt{x + 6}\), тогда: \[ 2B = x - 2 \] \[ 2 \sqrt{x + 6} = x - 2 \] Рассмотрим два варианта: 1. **x - 2 ≥ 0**, чтобы правая часть была неотрицательна (так как левые — корень). 2. Решим уравнение: \[ 2 \sqrt{x + 6} = x - 2 \] **Шаг 3:** Возьмём квадрат обеих частей: \[ (2 \sqrt{x + 6})^2 = (x - 2)^2 \] \[ 4 (x + 6) = x^2 - 4x + 4 \] Раскроем: \[ 4x + 24 = x^2 - 4x + 4 \] Переносим всё в одну сторону: \[ x^2 - 4x - 4x + 4 - 24 = 0 \] \[ x^2 - 8x - 20 = 0 \] **Шаг 4:** Решим квадратичное уравнение: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \times 1 \times (-20)}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2} \] Получаем два решения: - \(x = \frac{8+12}{2} = \frac{20}{2} = 10\) - \(x = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) **Шаг 5:** Проверка условий для каждого: - для \(x=10\): \[ 2 \sqrt{10+6} = 10 - 2 \] \[ 2 \sqrt{16} = 8 \] \[ 2 \times 4 = 8 \quad \checkmark \] Проверим также исходное уравнение: \[ \sqrt{2 \times 10 + 5} - \sqrt{10 + 6} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 \quad \checkmark \] - для \(x=-2\): \[ 2 \sqrt{-2+6} = -2 - 2 \] \[ 2 \sqrt{4} = -4 \] \[ 2 \times 2 = -4 \Rightarrow 4 = -4 \quad \text{ложь} \] Некорректное решение. **Ответ:** \(\boxed{x=10}\). --- ### 4) Уравнение: \(\sqrt{2x+1} - \sqrt{x} = 1\) **Шаг 1:** Обозначим: \[ A = \sqrt{2x + 1}, \quad B = \sqrt{x} \] Тогда: \[ A - B = 1 \] или \[ A = B + 1 \] **Шаг 2:** Возьмём квадраты: \[ A^2 = (B+1)^2 = B^2 + 2B + 1 \] Значит: \[ 2x + 1 = x + 2 \sqrt{x} + 1 \] **Шаг 3:** Упростим: \[ 2x + 1 = x + 2 \sqrt{x} + 1 \] \[ 2x = x + 2 \sqrt{x} \] \[ 2x - x = 2 \sqrt{x} \] \[ x = 2 \sqrt{x} \] **Шаг 4:** Введём \(t = \sqrt{x}\), тогда: \[ x = t^2 \] Подставляем: \[ t^2 = 2t \] или \[ t^2 - 2t = 0 \] \[ t(t - 2) = 0 \] Значит: \[ t=0 \quad \text{или} \quad t=2 \] **Шаг 5:** Возвращаемся к \(x\): - \(t=0 \Rightarrow x=0\) - \(t=2 \Rightarrow x=4\) **Шаг 6:** Проверка решений: - для \(x=0\): \[ \sqrt{0 + 1} - \sqrt{0} = 1 - 0=1 \quad \checkmark \] - для \(x=4\): \[ \sqrt{8 + 1} - \sqrt{4} = \sqrt{9} - 2=3 - 2=1 \quad \checkmark \] Об оба подходят. **Ответ:** \(\boxed{x=0 \text{ или } x=4}\). --- ### 5) Уравнение: \(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6} = 4\) **Шаг 1:** Определим функции: \[ A = \sqrt{x - 2}, \quad B = \sqrt{x + 6} \] Тогда: \[ A + B = 4 \] **Шаг 2:** Из второго выражения: \[ A = 4 - B \] Но, по определению, \(A \ge 0\), \(B \ge 0\), и сумма равна 4, следовательно: \[ 0 \le B \le 4 \] \[ 0 \le A = 4 - B \le 4 \] **Шаг 3:** Квадраты: \[ A^2 = x - 2 \] \[ B^2 = x + 6 \] Поскольку \(A = 4 - B\), возьмём квадрат: \[ A^2 = (4 - B)^2 = 16 - 8B + B^2 \] Но \(A^2 = x - 2\), а \(B^2 = x + 6\). Значит: \[ x - 2 = 16 - 8B + B^2 \] \[ \text{Также } x = B^2 - 6 \] Подставим это в уравнение для \(A^2\): \[ (B^2 - 6) - 2 = 16 - 8B + B^2 \] Объединим левую сторону: \[ B^2 - 8 = 16 - 8B + B^2 \] Переносим все в левую сторону: \[ B^2 - 8 - 16 + 8B - B^2 = 0 \] \[ ( B^2 - B^2 ) + 8B - 24 = 0 \] \[ 8B - 24 = 0 \] \[ 8B = 24 \] \[ B = 3 \] **Шаг 4:** Находим \(A\): \[ A = 4 - B = 4 - 3 = 1 \] Теперь находим \(x\): \[ A^2 = x - 2 \Rightarrow 1^2 = x - 2 \Rightarrow x = 3 \] или из \(B^2 = x + 6 \Rightarrow 9 = x +6 \Rightarrow x=3\). Общая точка: \(x=3\). Проверка условий: \[ x - 2 = 3 - 2 = 1 \ge 0 \] \[ x + 6 = 3 + 6= 9 \ge 0 \] Все условия соблюдены. **Ответ:** \(\boxed{x=3}\). --- Если нужно, могу подготовить более краткое резюме или объяснения.