решить уравнение : 1) √х^2+х+4=4. 2) √5-х -√5+х=2. 3) √2х+5 -√х+6=1. 4) √2х+1 -√х=1. 5) √х-2 +√х+6=4.

Давайте подробно решим каждое из заданных уравнений, объясняя шаг за шагом. В данном случае, так как параметры не указаны, я буду использовать общий подход, понятный для школьника средней школы.

---

1) Уравнение: \(\sqrt{x^2 + x + 4} = 4\)

Шаг 1: Возьмём квадрат обеих частей, чтобы избавиться от корня:

\[ (\sqrt{x^2 + x + 4})^2 = 4^2 \Rightarrow x^2 + x + 4 = 16 \]

Шаг 2: Решаем quadratic уравнение:

\[ x^2 + x + 4 = 16 \] \[ x^2 + x + 4 - 16 = 0 \] \[ x^2 + x - 12 = 0 \]

Шаг 3: Решаем квадратичное уравнение:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a=1\), \(b=1\), \(c=-12\).

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-12)}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} \]

\[ x = \frac{-1 \pm 7}{2} \]

Шаг 4: Находим оба решения:

• \(x = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
• \(x = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)

Шаг 5: Проверка решений в исходном уравнении:

• для \(x=3\):

\[ \sqrt{3^2 + 3 + 4} = \sqrt{9 + 3 + 4} = \sqrt{16} = 4 \quad \checkmark \]

• для \(x=-4\):

\[ \sqrt{(-4)^2 + (-4) + 4} = \sqrt{16 - 4 + 4} = \sqrt{16} = 4 \quad \checkmark \]

Ответ: \(x=3\) и \(x=-4\).

---

2) Уравнение: \(\sqrt{5 - x} - \sqrt{5 + x} = 2\)

Шаг 1: Введём обозначения:

Обозначим: \(\sqrt{5 - x} = A\), \(\sqrt{5 + x} = B\)

Тогда уравнение:

\[ A - B = 2 \]

Шаг 2: Из этого следует:

\[ A = B + 2 \]

Шаг 3: По определению, \(A = \sqrt{5 - x}\), \(B = \sqrt{5 + x}\):

\[ A^2 = 5 - x \] \[ B^2 = 5 + x \]

Шаг 4: Проследим связь:

\[ A = B + 2 \]

Возьмём квадрат обеих частей:

\[ A^2 = (B + 2)^2 = B^2 + 4B + 4 \]

Подставим \(A^2 = 5 - x\), \(B^2 = 5 + x\):

\[ 5 - x = (5 + x) + 4B + 4 \]

Шаг 5: Упростим:

\[ 5 - x = 5 + x + 4B + 4 \] \[ 5 - x = 9 + x + 4B \]

Переносим все в левую сторону:

\[ 5 - x - 9 - x = 4B \] \[ -4 - 2x = 4B \]

Итак,

\[ 4B = -4 - 2x \] \[ B = \frac{-4 - 2x}{4} = -1 - \frac{x}{2} \]

Шаг 6: Помним, что \(B = \sqrt{5 + x}\). Значит,

\[ \sqrt{5 + x} = -1 - \frac{x}{2} \]

Но левый — корень, он неотрицателен, а правый — выражение, которое может быть отрицательным. Значит, условие:

\[ -1 - \frac{x}{2} \ge 0 \] \[ -1 \ge \frac{x}{2} \] \[ -2 \ge x \]

Также, чтобы найти \(x\), решим уравнение:

\[ \sqrt{5 + x} = -1 - \frac{x}{2} \]

Обе части должны быть равны, значит правый — неотрицателен:

\[ -1 - \frac{x}{2} \ge 0 \]

Теперь возьмём всё уравнение:

\[ \sqrt{5 + x} = -1 - \frac{x}{2} \]

Шаг 7: Возьмём квадрат обеих частей (учитывая знак правой части) — чтобы избавиться от корня:

\[ 5 + x = \left(-1 - \frac{x}{2}\right)^2 \]

Раскроем правую часть:

\[ \left(-1 - \frac{x}{2}\right)^2 = 1 + 2 \times 1 \times \frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 1 + x + \frac{x^2}{4} \]

Шаг 8: Получим уравнение:

\[ 5 + x = 1 + x + \frac{x^2}{4} \]

Отнимем \(1 + x\) с обеих сторон:

\[ (5 + x) - (1 + x) = \frac{x^2}{4} \]

\[ 4 = \frac{x^2}{4} \]

Умножим обе части на 4:

\[ 16 = x^2 \]

Значит:

\[ x = \pm 4 \]

Шаг 9: Проверяем каждое решение в исходном уравнении:

• для \(x=4\):

\[ \sqrt{5 - 4} - \sqrt{5 + 4} = \sqrt{1} - \sqrt{9} = 1 - 3 = -2 \neq 2 \] не подходит.

• для \(x=-4\):

\[ \sqrt{5 - (-4)} - \sqrt{5 + (-4)} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 \] подходит.

Проверка условий:

\[ -1 - \frac{x}{2} \ge 0 \] \[ -1 - \frac{-4}{2} = -1 + 2 = 1 \ge 0 \]

Верно.

Ответ: \(\boxed{x = -4}\).

---

3) Уравнение: \(\sqrt{2x + 5} - \sqrt{x + 6} = 1\)

Шаг 1: Обозначим:

\[ A = \sqrt{2x + 5}, \quad B = \sqrt{x + 6} \]

Тогда:

\[ A - B = 1 \]

Из этого:

\[ A = B + 1 \]

Шаг 2: Возьмём квадрат обеих частей:

\[ A^2 = (B+1)^2 = B^2 + 2B + 1 \]

Но:

\[ A^2 = 2x + 5 \] \[ B^2 = x + 6 \]

Следовательно:

\[ 2x + 5 = (x + 6) + 2B + 1 \] \[ 2x + 5 = x + 6 + 2B + 1 \] \[ 2x + 5 = x + 7 + 2B \]

Переносим:

\[ 2x - x + 5 - 7 = 2B \] \[ x - 2 = 2B \]

анд \(B = \sqrt{x + 6}\), тогда:

\[ 2B = x - 2 \] \[ 2 \sqrt{x + 6} = x - 2 \]

Рассмотрим два варианта:

1. x - 2 ≥ 0, чтобы правая часть была неотрицательна (так как левые — корень).

2. Решим уравнение:

\[ 2 \sqrt{x + 6} = x - 2 \]

Шаг 3: Возьмём квадрат обеих частей:

\[ (2 \sqrt{x + 6})^2 = (x - 2)^2 \] \[ 4 (x + 6) = x^2 - 4x + 4 \]

Раскроем:

\[ 4x + 24 = x^2 - 4x + 4 \]

Переносим всё в одну сторону:

\[ x^2 - 4x - 4x + 4 - 24 = 0 \] \[ x^2 - 8x - 20 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратичное уравнение:

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \times 1 \times (-20)}}{2} \]

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2} \]

Получаем два решения:

• \(x = \frac{8+12}{2} = \frac{20}{2} = 10\)
• \(x = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Шаг 5: Проверка условий для каждого:

• для \(x=10\):

\[ 2 \sqrt{10+6} = 10 - 2 \] \[ 2 \sqrt{16} = 8 \] \[ 2 \times 4 = 8 \quad \checkmark \]

Проверим также исходное уравнение:

\[ \sqrt{2 \times 10 + 5} - \sqrt{10 + 6} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 \quad \checkmark \]

• для \(x=-2\):

\[ 2 \sqrt{-2+6} = -2 - 2 \] \[ 2 \sqrt{4} = -4 \] \[ 2 \times 2 = -4 \Rightarrow 4 = -4 \quad \text{ложь} \]

Некорректное решение.

Ответ: \(\boxed{x=10}\).

---

4) Уравнение: \(\sqrt{2x+1} - \sqrt{x} = 1\)

Шаг 1: Обозначим:

\[ A = \sqrt{2x + 1}, \quad B = \sqrt{x} \]

Тогда:

\[ A - B = 1 \]

или

\[ A = B + 1 \]

Шаг 2: Возьмём квадраты:

\[ A^2 = (B+1)^2 = B^2 + 2B + 1 \]

Значит:

\[ 2x + 1 = x + 2 \sqrt{x} + 1 \]

Шаг 3: Упростим:

\[ 2x + 1 = x + 2 \sqrt{x} + 1 \] \[ 2x = x + 2 \sqrt{x} \] \[ 2x - x = 2 \sqrt{x} \] \[ x = 2 \sqrt{x} \]

Шаг 4: Введём \(t = \sqrt{x}\), тогда:

\[ x = t^2 \]

Подставляем:

\[ t^2 = 2t \]

или

\[ t^2 - 2t = 0 \] \[ t(t - 2) = 0 \]

Значит:

\[ t=0 \quad \text{или} \quad t=2 \]

Шаг 5: Возвращаемся к \(x\):

• \(t=0 \Rightarrow x=0\)
• \(t=2 \Rightarrow x=4\)

Шаг 6: Проверка решений:

• для \(x=0\):

\[ \sqrt{0 + 1} - \sqrt{0} = 1 - 0=1 \quad \checkmark \]

• для \(x=4\):

\[ \sqrt{8 + 1} - \sqrt{4} = \sqrt{9} - 2=3 - 2=1 \quad \checkmark \]

Об оба подходят.

Ответ: \(\boxed{x=0 \text{ или } x=4}\).

---

5) Уравнение: \(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6} = 4\)

Шаг 1: Определим функции:

\[ A = \sqrt{x - 2}, \quad B = \sqrt{x + 6} \]

Тогда:

\[ A + B = 4 \]

Шаг 2: Из второго выражения:

\[ A = 4 - B \]

Но, по определению, \(A \ge 0\), \(B \ge 0\), и сумма равна 4, следовательно:

\[ 0 \le B \le 4 \] \[ 0 \le A = 4 - B \le 4 \]

Шаг 3: Квадраты:

\[ A^2 = x - 2 \] \[ B^2 = x + 6 \]

Поскольку \(A = 4 - B\), возьмём квадрат:

\[ A^2 = (4 - B)^2 = 16 - 8B + B^2 \]

Но \(A^2 = x - 2\), а \(B^2 = x + 6\). Значит:

\[ x - 2 = 16 - 8B + B^2 \] \[ \text{Также } x = B^2 - 6 \]

Подставим это в уравнение для \(A^2\):

\[ (B^2 - 6) - 2 = 16 - 8B + B^2 \]

Объединим левую сторону:

\[ B^2 - 8 = 16 - 8B + B^2 \]

Переносим все в левую сторону:

\[ B^2 - 8 - 16 + 8B - B^2 = 0 \]

\[ ( B^2 - B^2 ) + 8B - 24 = 0 \] \[ 8B - 24 = 0 \] \[ 8B = 24 \] \[ B = 3 \]

Шаг 4: Находим \(A\):

\[ A = 4 - B = 4 - 3 = 1 \]

Теперь находим \(x\):

\[ A^2 = x - 2 \Rightarrow 1^2 = x - 2 \Rightarrow x = 3 \]

или из \(B^2 = x + 6 \Rightarrow 9 = x +6 \Rightarrow x=3\).

Общая точка: \(x=3\).

Проверка условий:

\[ x - 2 = 3 - 2 = 1 \ge 0 \] \[ x + 6 = 3 + 6= 9 \ge 0 \]

Все условия соблюдены.

Ответ: \(\boxed{x=3}\).

---

Если нужно, могу подготовить более краткое резюме или объяснения.