Реши

Давайте решим задачу по алгебре, которая связана с вычислением скалярного произведения вектора и использованием формул для степеней. Задача: Вычислить скалярное произведение \(\left( \vec{a} - \vec{b} \right) \cdot \left( 2 \vec{a} + \vec{b} \right)\), при этом заданы векторы: \(\vec{a} = \{1, 0, 4\}\), \(\vec{b} = \{2, 2, 1\}\). --- ### Шаг 1: Записать векторы и формулу для скалярного произведения - Вектор \(\vec{a} = (1, 0, 4)\) - Вектор \(\vec{b} = (2, 2, 1)\) Формула скалярного произведения двух векторов \(\vec{x} = (x_1, x_2, x_3)\) и \(\vec{y} = (y_1, y_2, y_3)\): \[ \vec{x} \cdot \vec{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 \] --- ### Шаг 2: Раскрыть скалярное произведение по дистрибутивным свойствам Нам нужно найти: \[ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) \] Используем формулу: \[ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) - \vec{b} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) \] Раскроем дальше: \[ = \vec{a} \cdot 2 \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot 2 \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} \] Или: \[ = 2 \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2 \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} \] Обратите внимание, что скалярное произведение коммутативно (\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)), поэтому: \[ = 2 \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{b} \] \[ = 2 \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{b} \] --- ### Шаг 3: Вычислить каждое скалярное произведение 1. \(\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + 0^2 + 4^2 = 1 + 0 + 16 = 17\) 2. \(\vec{b} \cdot \vec{b} = 2^2 + 2^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9\) 3. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (0)(2) + (4)(1) = 2 + 0 + 4 = 6\) ### Шаг 4: Подставить результаты и получить ответ \[ = 2 \times 17 - 6 - 9 = 34 - 6 - 9 = 19 \] --- ## Итог: \[ \boxed{ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 19 } \] Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение какого-либо шага, скажи!