реши

Давайте решим задачу по алгебре, которая связана с вычислением скалярного произведения вектора и использованием формул для степеней.

Задача:
Вычислить скалярное произведение \(\left( \vec{a} - \vec{b} \right) \cdot \left( 2 \vec{a} + \vec{b} \right)\), при этом заданы векторы:
\(\vec{a} = \{1, 0, 4\}\), \(\vec{b} = \{2, 2, 1\}\).

Шаг 1: Записать векторы и формулу для скалярного произведения

• Вектор \(\vec{a} = (1, 0, 4)\)
• Вектор \(\vec{b} = (2, 2, 1)\)

Формула скалярного произведения двух векторов \(\vec{x} = (x_1, x_2, x_3)\) и \(\vec{y} = (y_1, y_2, y_3)\):

\[ \vec{x} \cdot \vec{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 \]

Шаг 2: Раскрыть скалярное произведение по дистрибутивным свойствам

Нам нужно найти:

\[ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) \]

Используем формулу:

\[ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) - \vec{b} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) \]

Раскроем дальше:

\[ = \vec{a} \cdot 2 \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot 2 \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} \]

Или:

\[ = 2 \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2 \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} \]

Обратите внимание, что скалярное произведение коммутативно (\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)), поэтому:

\[ = 2 \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{b} \] \[ = 2 \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{b} \]

Шаг 3: Вычислить каждое скалярное произведение

1. \(\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + 0^2 + 4^2 = 1 + 0 + 16 = 17\)

2. \(\vec{b} \cdot \vec{b} = 2^2 + 2^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9\)

3. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (0)(2) + (4)(1) = 2 + 0 + 4 = 6\)

Шаг 4: Подставить результаты и получить ответ

\[ = 2 \times 17 - 6 - 9 = 34 - 6 - 9 = 19 \]

Итог:

\[ \boxed{ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 19 } \]

Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение какого-либо шага, скажи!