Напиши

Конечно! Вот подробное объяснение задачи и её решение:

Задача:

Дана формула предела последовательности: \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \]

Нам нужно найти этот предел.

Решение:

Это классический предел, который встречается в анализе и связан с числом e.

Шаг 1: Обозначим выражение как последовательность: \[ a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \]

Шаг 2: Проанализируем, к чему стремится \(a_n\) при \(n \to \infty\).

В таких случаях полезно перейти к степени с логарифмом, потому что: \[ a_n = e^{\ln a_n} \]

Тогда: \[ \ln a_n = n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \]

Шаг 3: Рассмотрим предел \(\lim_{n \to \infty} \ln a_n\):

\[ \lim_{n \to \infty} n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \]

Используем свойство логарифма и пределы. Нам важно понять, к чему стремится выражение:

\[ L = \lim_{n \to \infty} n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \]

Шаг 4: Сделаем замену: \(x = \frac{1}{n}\), тогда при \(n \to \infty\), \(x \to 0^+\). Тогда выражение перепишется как:

\[ L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + x)}{x} \]

Потому что:

\[ n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{\ln(1 + x)}{x} \]

Обратим внимание, что:

\[ L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \]

Шаг 5: Известно, что предел

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]

Это стандартный предел из анализа. Его можно доказать с помощью разложения в ряд или правила Лопиталя.

Итог:

\[ \ln a_n \to 1 \quad \text{при} \quad n \to \infty \]

Следовательно:

\[ a_n = e^{\ln a_n} \to e^1 = e \]

Ответ:

\[ \boxed{\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e} \]

Если есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение — пишите!