Напиши

Конечно! Вот подробное объяснение задачи и её решение: --- ### Задача: Дана формула предела последовательности: \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \] Нам нужно найти этот предел. --- ### Решение: Это классический предел, который встречается в анализе и связан с числом **e**. **Шаг 1:** Обозначим выражение как последовательность: \[ a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \] **Шаг 2:** Проанализируем, к чему стремится \(a_n\) при \(n \to \infty\). В таких случаях полезно перейти к степени с логарифмом, потому что: \[ a_n = e^{\ln a_n} \] Тогда: \[ \ln a_n = n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \] **Шаг 3:** Рассмотрим предел \(\lim_{n \to \infty} \ln a_n\): \[ \lim_{n \to \infty} n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \] Используем свойство логарифма и пределы. Нам важно понять, к чему стремится выражение: \[ L = \lim_{n \to \infty} n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \] **Шаг 4:** Сделаем замену: \(x = \frac{1}{n}\), тогда при \(n \to \infty\), \(x \to 0^+\). Тогда выражение перепишется как: \[ L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + x)}{x} \] Потому что: \[ n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{\ln(1 + x)}{x} \] Обратим внимание, что: \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \] **Шаг 5:** Известно, что предел \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \] Это стандартный предел из анализа. Его можно доказать с помощью разложения в ряд или правила Лопиталя. --- ### Итог: \[ \ln a_n \to 1 \quad \text{при} \quad n \to \infty \] Следовательно: \[ a_n = e^{\ln a_n} \to e^1 = e \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e} \] --- Если есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение — пишите!