Давайте подробно решим задачу: найти производную функции ( y = (x + 1) \sqrt{x} ).
Шаг 1. Перепишем функцию для удобства
Функция задана как произведение двух выражений:
[
y = (x + 1) \sqrt{x}
]
Заметим, что (\sqrt{x} = x^{1/2}). Тогда:
[
y = (x + 1) \cdot x^{1/2}
]
Шаг 2. Раскроем скобки
Чтобы упростить дифференцирование, запишем функцию в виде суммы:
[
y = x \cdot x^{1/2} + 1 \cdot x^{1/2}
]
или
[
y = x^{1 + 1/2} + x^{1/2}
]
Объединим показатели степеней:
[
y = x^{3/2} + x^{1/2}
]
Шаг 3. Найдём производную
Производная суммы равна сумме производных:
[
y' = \frac{d}{dx} x^{3/2} + \frac{d}{dx} x^{1/2}
]
Используем формулу дифференцирования степенной функции:
[
\frac{d}{dx} x^{n} = n x^{n - 1}
]
Тогда:
[
\frac{d}{dx} x^{3/2} = \frac{3}{2} x^{(3/2) - 1} = \frac{3}{2} x^{1/2}
]
[
\frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{(1/2) - 1} = \frac{1}{2} x^{-1/2}
]
Итог:
[
\boxed{
y' = \frac{3}{2} x^{1/2} + \frac{1}{2} x^{-1/2}
}
]
Или в исходной форме:
[
y' = \frac{3}{2} \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}}
]
Ит nee:
Производная функции ( y = (x + 1) \sqrt{x} ) равна:
[
\boxed{
\frac{3}{2} \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}}
}
]
Если хотите — я могу дополнительно объяснить, как проверять эти результаты или дать шаги для более сложных функций!
