) Найдите производную функции у = (x + 1)√x

Давайте подробно решим задачу: найти производную функции \( y = (x + 1) \sqrt{x} \).

Шаг 1. Перепишем функцию для удобства

Функция задана как произведение двух выражений: \[ y = (x + 1) \sqrt{x} \]

Заметим, что \(\sqrt{x} = x^{1/2}\). Тогда: \[ y = (x + 1) \cdot x^{1/2} \]

Шаг 2. Раскроем скобки

Чтобы упростить дифференцирование, запишем функцию в виде суммы: \[ y = x \cdot x^{1/2} + 1 \cdot x^{1/2} \] или \[ y = x^{1 + 1/2} + x^{1/2} \]

Объединим показатели степеней: \[ y = x^{3/2} + x^{1/2} \]

Шаг 3. Найдём производную

Производная суммы равна сумме производных: \[ y' = \frac{d}{dx} x^{3/2} + \frac{d}{dx} x^{1/2} \]

Используем формулу дифференцирования степенной функции: \[ \frac{d}{dx} x^{n} = n x^{n - 1} \]

Тогда: \[ \frac{d}{dx} x^{3/2} = \frac{3}{2} x^{(3/2) - 1} = \frac{3}{2} x^{1/2} \] \[ \frac{d}{dx} x^{1/2} = \frac{1}{2} x^{(1/2) - 1} = \frac{1}{2} x^{-1/2} \]

Итог:

\[ \boxed{ y' = \frac{3}{2} x^{1/2} + \frac{1}{2} x^{-1/2} } \]

Или в исходной форме: \[ y' = \frac{3}{2} \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \]

Ит nee:

Производная функции \( y = (x + 1) \sqrt{x} \) равна: \[ \boxed{ \frac{3}{2} \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} } \]

Если хотите — я могу дополнительно объяснить, как проверять эти результаты или дать шаги для более сложных функций!