Номер 1
Вот подробное решение задачи по каждому пункту:
Задача 1: Найдите область определения функции \( y = \log_4(35 - 7x) \).
Объяснение:
Для логарифмической функции её аргумент должен быть строго положительным:
\[ 35 - 7x > 0 \]
Решим это неравенство:
\[ 35 > 7x \]
\[ x < 5 \]
Ответ:
Область определения: ** \( (-\infty, 5) \) **.
Задача 2: Вычислите значение выражения \(\frac{b}{b^{12} \cdot b^{-3}}\), при \(b=4\).
Объяснение:
Сначала упростим дробь:
\[ \frac{b}{b^{12} \cdot b^{-3}} \]
Используем свойства степеней:
\[ b^{12} \cdot b^{-3} = b^{12 + (-3)} = b^{9} \]
Значит:
\[ \frac{b}{b^{9}} = b^{1 - 9} = b^{-8} \]
Подставляем \(b=4\):
\[ 4^{-8} = \frac{1}{4^{8}} \]
Теперь посчитаем \(4^{8}\):
\[ 4^{8} = (2^{2})^{8} = 2^{16} \]
\[ 2^{16} = 65536 \]
Итак:
\[ \frac{1}{65536} \]
Ответ:
\(\boxed{\frac{1}{65536}}\).
Задача 3: Решите уравнение \( 2 \cos 4x = \sqrt{2} \).
Объяснение:
Выразим \(\cos 4x\):
\[ \cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Значение \(\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при:
\[ 4x = 45^\circ + 360^\circ n \quad \text{или} \quad 4x = 315^\circ + 360^\circ n \quad (n \in \mathbb{Z}) \]
Обратите внимание: \(\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при:
\[ 4x = 45^\circ + 360^\circ n \] \[ 4x = 315^\circ + 360^\circ n \]
Решим относительно \(x\):
\[ x = \frac{45^\circ + 360^\circ n}{4} = 11.25^\circ + 90^\circ n \] \[ x = \frac{315^\circ + 360^\circ n}{4} = 78.75^\circ + 90^\circ n \]
Ответ:
\[ x = 11.25^\circ + 90^\circ n \quad \text{или} \quad x = 78.75^\circ + 90^\circ n, \quad n \in \mathbb{Z} \].
Задача 4: Решите неравенство \( f'(x) \leq 10 \), если \(f(x) = 5x^2 + 20x\).
Объяснение:
Найдем производную \(f'(x)\):
\[ f'(x) = 10x + 20 \]
Теперь решим:
\[ 10x + 20 \leq 10 \]
Вычитаем 20:
\[ 10x \leq -10 \]
Делим на 10:
\[ x \leq -1 \]
Ответ:
\[ x \leq -1 \].
Задача 5: Решите уравнение \( \log_3 (12 - x) = \log_3 4 \).
Объяснение:
Логарифмы равны при равных аргументах:
\[ 12 - x = 4 \]
\[ x = 12 - 4 = 8 \]
Проверка: \(12 - 8 = 4 > 0\) — подходит.
Ответ:
\[ \boxed{x=8} \].
Задача 6: Решите неравенство \(\left(\frac{5}{3}\right)^{3x} \geq \left(\frac{3}{5}\right)^{2x+5}\).
Объяснение:
Обратим основание второго показателя: \(\frac{3}{5} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-1}\), тогда:
\[ \left(\frac{5}{3}\right)^{3x} \geq \left(\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}\right)^{2x+5} \]
\[ \left(\frac{5}{3}\right)^{3x} \geq \left(\frac{5}{3}\right)^{-(2x+5)} \]
При основании больше 1 (что верно), неравенство:
\[ 3x \geq -(2x + 5) \]
Раскроем скобки:
\[ 3x \geq -2x - 5 \]
Перенесем многочлены в левую сторону:
\[ 3x + 2x \geq -5 \]
\[ 5x \geq -5 \]
Делим на 5:
\[ x \geq -1 \]
Ответ:
\[ x \geq -1 \].
Задача 7: Найдите значение выражения \( \sin 110^\circ \cdot \cos 20^\circ - \cos 110^\circ \cdot \sin 20^\circ \).
Объяснение:
Используем формулу разности синусов:
\[ \sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin(A - B) \]
Подставим:
\[ A = 110^\circ, \quad B=20^\circ \]
\[ \sin(110^\circ - 20^\circ) = \sin 90^\circ = 1 \]
Ответ:
\[ \boxed{1} \].
Задача 8: Упростите выражение
\[ \sqrt[3]{3^4 \cdot 27} - \frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{9}} \]
Объяснение:
Рассмотрим каждую часть:
Первая часть:
\[ \sqrt[3]{3^4 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{3^{4+3}} = \sqrt[3]{3^7} = 3^{7/3} \]
Вторая часть:
\[ \frac{\sqrt[3]{3^5}}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{3^{5/3}}{3^{2/3}} = 3^{(5/3 - 2/3)} = 3^{3/3} = 3^1 = 3 \]
Итак, выражение:
\[ 3^{7/3} - 3 \]
Ответ:
\[ 3^{7/3} - 3 \].
Задача 9: Найдите площадь трапеции, если основания равны 9 см и 19 см, а тупой угол равен 45°.
Объяснение:
Площадь трапеции:
\[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \]
где \(a=9\), \(b=19\), \(h\) — высота.
Высота находится по отношению к углу:
\[ h = (b - a) \times \tan 45^\circ = (19 - 9) \times 1 = 10 \text{ см} \]
Подставляем:
\[ S = \frac{9 + 19}{2} \times 10 = \frac{28}{2} \times 10 = 14 \times 10 = 140 \text{ см}^2 \]
Ответ:
\[ \boxed{140 \text{ см}^2} \].
Задача 10: Даны размеры цилиндров:
- первый цилиндр: радиус \(r_1=24\) см, высота \(h_1=10\) см
- второй цилиндр: радиус \(r_2=10\) см, высота \(h_2=12\) см
Сколько раз объем первого цилиндра больше объема второго?
Объем цилиндра:
\[ V = \pi r^2 h \]
Вычислим:
\[ V_1 = \pi \times 24^2 \times 10 = \pi \times 576 \times 10 = 5760 \pi \]
\[ V_2 = \pi \times 10^2 \times 12 = \pi \times 100 \times 12 = 1200 \pi \]
Отношение
