Номер 1

Вот подробное решение задачи по каждому пункту: --- **Задача 1: Найдите область определения функции** \( y = \log_4(35 - 7x) \). **Объяснение:** Для логарифмической функции её аргумент должен быть строго положительным: \[ 35 - 7x > 0 \] Решим это неравенство: \[ 35 > 7x \] \[ x < 5 \] **Ответ:** Область определения: ** \( (-\infty, 5) \) **. --- **Задача 2: Вычислите значение выражения** \(\frac{b}{b^{12} \cdot b^{-3}}\), при \(b=4\). **Объяснение:** Сначала упростим дробь: \[ \frac{b}{b^{12} \cdot b^{-3}} \] Используем свойства степеней: \[ b^{12} \cdot b^{-3} = b^{12 + (-3)} = b^{9} \] Значит: \[ \frac{b}{b^{9}} = b^{1 - 9} = b^{-8} \] Подставляем \(b=4\): \[ 4^{-8} = \frac{1}{4^{8}} \] Теперь посчитаем \(4^{8}\): \[ 4^{8} = (2^{2})^{8} = 2^{16} \] \[ 2^{16} = 65536 \] Итак: \[ \frac{1}{65536} \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{1}{65536}}\). --- **Задача 3: Решите уравнение** \( 2 \cos 4x = \sqrt{2} \). **Объяснение:** Выразим \(\cos 4x\): \[ \cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Значение \(\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при: \[ 4x = 45^\circ + 360^\circ n \quad \text{или} \quad 4x = 315^\circ + 360^\circ n \quad (n \in \mathbb{Z}) \] Обратите внимание: \(\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при: \[ 4x = 45^\circ + 360^\circ n \] \[ 4x = 315^\circ + 360^\circ n \] Решим относительно \(x\): \[ x = \frac{45^\circ + 360^\circ n}{4} = 11.25^\circ + 90^\circ n \] \[ x = \frac{315^\circ + 360^\circ n}{4} = 78.75^\circ + 90^\circ n \] **Ответ:** \[ x = 11.25^\circ + 90^\circ n \quad \text{или} \quad x = 78.75^\circ + 90^\circ n, \quad n \in \mathbb{Z} \]. --- **Задача 4: Решите неравенство** \( f'(x) \leq 10 \), если \(f(x) = 5x^2 + 20x\). **Объяснение:** Найдем производную \(f'(x)\): \[ f'(x) = 10x + 20 \] Теперь решим: \[ 10x + 20 \leq 10 \] Вычитаем 20: \[ 10x \leq -10 \] Делим на 10: \[ x \leq -1 \] **Ответ:** \[ x \leq -1 \]. --- **Задача 5: Решите уравнение** \( \log_3 (12 - x) = \log_3 4 \). **Объяснение:** Логарифмы равны при равных аргументах: \[ 12 - x = 4 \] \[ x = 12 - 4 = 8 \] Проверка: \(12 - 8 = 4 > 0\) — подходит. **Ответ:** \[ \boxed{x=8} \]. --- **Задача 6: Решите неравенство** \(\left(\frac{5}{3}\right)^{3x} \geq \left(\frac{3}{5}\right)^{2x+5}\). **Объяснение:** Обратим основание второго показателя: \(\frac{3}{5} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-1}\), тогда: \[ \left(\frac{5}{3}\right)^{3x} \geq \left(\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}\right)^{2x+5} \] \[ \left(\frac{5}{3}\right)^{3x} \geq \left(\frac{5}{3}\right)^{-(2x+5)} \] При основании больше 1 (что верно), неравенство: \[ 3x \geq -(2x + 5) \] Раскроем скобки: \[ 3x \geq -2x - 5 \] Перенесем многочлены в левую сторону: \[ 3x + 2x \geq -5 \] \[ 5x \geq -5 \] Делим на 5: \[ x \geq -1 \] **Ответ:** \[ x \geq -1 \]. --- **Задача 7: Найдите значение выражения** \( \sin 110^\circ \cdot \cos 20^\circ - \cos 110^\circ \cdot \sin 20^\circ \). **Объяснение:** Используем формулу разности синусов: \[ \sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin(A - B) \] Подставим: \[ A = 110^\circ, \quad B=20^\circ \] \[ \sin(110^\circ - 20^\circ) = \sin 90^\circ = 1 \] **Ответ:** \[ \boxed{1} \]. --- **Задача 8: Упростите выражение** \[ \sqrt[3]{3^4 \cdot 27} - \frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{9}} \] **Объяснение:** Рассмотрим каждую часть: Первая часть: \[ \sqrt[3]{3^4 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{3^{4+3}} = \sqrt[3]{3^7} = 3^{7/3} \] Вторая часть: \[ \frac{\sqrt[3]{3^5}}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{3^{5/3}}{3^{2/3}} = 3^{(5/3 - 2/3)} = 3^{3/3} = 3^1 = 3 \] Итак, выражение: \[ 3^{7/3} - 3 \] **Ответ:** \[ 3^{7/3} - 3 \]. --- **Задача 9: Найдите площадь трапеции**, если основания равны 9 см и 19 см, а тупой угол равен 45°. **Объяснение:** Площадь трапеции: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \] где \(a=9\), \(b=19\), \(h\) — высота. Высота находится по отношению к углу: \[ h = (b - a) \times \tan 45^\circ = (19 - 9) \times 1 = 10 \text{ см} \] Подставляем: \[ S = \frac{9 + 19}{2} \times 10 = \frac{28}{2} \times 10 = 14 \times 10 = 140 \text{ см}^2 \] **Ответ:** \[ \boxed{140 \text{ см}^2} \]. --- **Задача 10: Даны размеры цилиндров**: - первый цилиндр: радиус \(r_1=24\) см, высота \(h_1=10\) см - второй цилиндр: радиус \(r_2=10\) см, высота \(h_2=12\) см **Сколько раз объем первого цилиндра больше объема второго?** Объем цилиндра: \[ V = \pi r^2 h \] Вычислим: \[ V_1 = \pi \times 24^2 \times 10 = \pi \times 576 \times 10 = 5760 \pi \] \[ V_2 = \pi \times 10^2 \times 12 = \pi \times 100 \times 12 = 1200 \pi \] Отношение