Давайте подробно решим задачу.
Дана:
- В треугольнике ( ABC ).
- На стороне ( AB ) взята точка ( M ), где ( AM : MB = 2 : 3 ).
- На стороне ( AC ) взята точка ( N ), где ( AN : NC = 2 : 5 ).
- Площадь треугольника ( ABC ) равна 90.
Нужно найти площадь треугольника ( AMN ).
Шаг 1: Введение координат
Для удобства возьмём треугольник ( ABC ) в системе координат.
Пусть:
- ( A = (0, 0) ).
- ( B = (b, 0) ).
- ( C = (0, c) ).
Тогда площадь треугольника ( ABC ):
[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times b \times c = 90.
]
Отсюда:
[
b c = 180.
]
Шаг 2: Расчёт координат точек ( M ) и ( N )
Точка ( M ) на стороне ( AB ):
Дано:
[
AM : MB = 2 : 3.
]
Общее деление — 5 частей, где ( M ) делит ( AB ) в соотношении ( 2 : 3 ).
Координаты:
[
M = \frac{3}{5} A + \frac{2}{5} B = \frac{3}{5} (0, 0) + \frac{2}{5} (b, 0) = ( \frac{2b}{5}, 0 ).
]
Точка ( N ) на стороне ( AC ):
Аналогично:
[
AN : NC = 2 : 5.
]
Общий делитель — 7. Тогда:
[
N = \frac{5}{7} A + \frac{2}{7} C = \frac{5}{7} (0, 0) + \frac{2}{7} (0, c) = (0, \frac{2c}{7} ).
]
Шаг 3: Вычисление площади треугольника ( AMN )
Координаты точек:
[
A = (0, 0),
]
[
M = \left( \frac{2b}{5}, 0 \right),
]
[
N = \left( 0, \frac{2c}{7} \right).
]
Площадь треугольника по формуле с координатами:
[
S_{AMN} = \frac{1}{2} \left| x_A (y_M - y_N) + x_M (y_N - y_A) + x_N (y_A - y_M) \right|.
]
Подставим координаты:
[
S_{AMN} = \frac{1}{2} | 0 \times (0 - \frac{2c}{7}) + \frac{2b}{5} \times (\frac{2c}{7} - 0) + 0 \times (0 - 0) |.
]
Упрощение:
[
S_{AMN} = \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{2b}{5} \times \frac{2c}{7} + 0 \right| = \frac{1}{2} \times \frac{2b}{5} \times \frac{2c}{7}.
]
Упростим:
[
S_{AMN} = \frac{1}{2} \times \frac{4bc}{35} = \frac{4bc}{70} = \frac{2bc}{35}.
]
Значит:
[
S_{AMN} = \frac{2bc}{35}.
]
Из условия нам известно:
[
bc = 180,
]
следовательно:
[
S_{AMN} = \frac{2 \times 180}{35} = \frac{360}{35} = \frac{72}{7} \approx 10.29.
]
Ответ:
Площадь треугольника ( AMN ) равна (\boxed{\frac{72}{7}}) или приблизительно 10.29.
Если нужно выразить ответ в дробях — именно (\frac{72}{7}).
