Найдите значение: 5 cos (-10 П) + 3 cos (-5Π/2)
Давайте решим задачу пошагово и подробно, чтобы понять, как находить значение выражения:
Задача:
Найти значение выражения:
\[5 \cos(-10\pi) + 3 \cos\left(-\frac{5\pi}{2}\right)\]
Шаг 1: Свойства косинуса для отрицательных аргументов
Косинус — это функция чётная, то есть:
\[
\cos(-x) = \cos(x)
\]
Поэтому можно избавиться от минусов перед аргументами:
\[
\cos(-10\pi) = \cos(10\pi)
\]
\[
\cos\left(-\frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)
\]
Шаг 2: Вычисление \(\cos(10\pi)\)
Общие свойства косинуса:
- \(\cos(\theta)\) повторяется с периодом \(2\pi\).
- Значит, \(\cos(\theta + 2\pi k) = \cos(\theta)\), где \(k\) — целое число.
Рассмотрим \(10\pi\):
\[
10\pi = 2\pi \times 5
\]
Это кратное \(2\pi\), потому что:
\[
\cos(10\pi) = \cos(2\pi \times 5) = (\cos 2\pi)^5
\]
и поскольку \(\cos 2\pi = 1\), то:
\[
\cos(10\pi) = 1
\]
Шаг 3: Вычисление \(\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)\)
Рассмотрим \(\frac{5\pi}{2}\).
Период косинуса — \(2\pi\).
Можно выразить \(\frac{5\pi}{2}\) через \(\pi\):
\[
\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}
\]
Поскольку \(\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta\), то:
\[
\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)
\]
Из таблицы известных значений:
\[
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
\]
Шаг 4: Подставляем полученные значения обратно
Теперь подставим результаты обратно в исходное выражение:
\[
5 \cos(10\pi) + 3 \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 5 \times 1 + 3 \times 0 = 5 + 0 = 5
\]
Ответ:
\[ \boxed{5} \]
Если есть дополнительные вопросы или нужно разобрать подробнее какую-то часть — скажите!
