Брусок массой m=400 г удерживают на наклонной поверхности неподвижного клина, составляющей угол α=30∘ с горизонтом. Невесомая нерастяжимая нить, перекинутая через неподвижный и…
Брусок массой m=400 г удерживают на наклонной поверхности неподвижного клина, составляющей угол α=30∘ с горизонтом. Невесомая нерастяжимая нить, перекинутая через неподвижный и подвижный блоки, соединяет брусок с потолком помещения. Найдите минимальную и максимальную массу груза, прикреплённого к оси подвижного блока, при которых после аккуратного отпускания брусок может остаться неподвижным, и запишите в поля ответа в любом порядке. Коэффициент трения между бруском и наклонной поверхностью μ=123√≈0,29 . Оба блока невесомые и вращаются без трения. Ответ выразите в граммах, округлив до целого числа.
Давайте разберём задачу по частям и сформулируем план решения.
Дано:
- Масса бруска \( m = 400\,г = 0,4\,кг \)
- Угол наклона к горизонтали \( \alpha = 30^\circ \)
- Коэффициент трения \( \mu \approx 0,29 \)
- Нить невесомая и нерастяжимая, перекинута через неподвижный и подвижный блоки
- Блоки невесомые и без трения, и брусок удерживается на наклонной без движения (статическая ситуация)
Что ищем: Минимальную и максимальную массу груза \( M \) (на подвижном блоке), при которых брусок может остаться неподвижным после отпускания.
Пошаговый разбор
1. Ослабляем задачу
- Брусок находится на наклонной, по которой действует сила тяжести и сила трения.
- Нить натянута, и на неё действует сила со стороны груза на подвижном блоке.
2. Анализ сил на брусок
На брусок действуют:
- Сила тяжести: \( \vec{P} = m g \), соулучается с осью наклона: \( P_{\parallel} = m g \sin \alpha \), \( P_{\perp} = m g \cos \alpha \).
- Сила реакции \( R \) со стороны поверхности (направлена перпендикулярно наклонной поверхности).
- Сила трения: \( F_{тр} = \mu R \). Она может быть направлена против движения бруска, то есть вдоль поверхности.
- Тензора нити: если груз на подвижном блоке массой \( M \) — это сила натяжения \( T \).
3. Условия равновесия
Для неподвижного бруска сила натяжения \( T \) должна уравновешивать силы:
Вдоль наклонной: \( T = m g \sin \alpha + F_{тр} \) (если брусок свернут по наклонной или движется, но в состоянии равновесия — моменты и силы сбалансированы).
Условия трения и натяжения:
\[ T \leq m g \sin \alpha + \mu R \]
Но \( R = N \), сила реакции под наклоном, равна:
\[ N = m g \cos \alpha \]
Если брусок держится, сила натяжения в нити не превышает:
\[ T \leq m g \sin \alpha + \mu m g \cos \alpha \]
4. Связь с грузом \( M \)
Груз \( M \) тянет вниз, создавая натяжение:
\[ T = M g \]
Когда брусок держится в равновесии, то:
\[ M g \leq m g \sin \alpha + \mu m g \cos \alpha \]
Между этой силой и грузом \( M \):
\[ M \leq \frac{m \sin \alpha + \mu m \cos \alpha}{1} \]
Аналогично, для удержания равновесия, чтобы брусок не соскользнул или не поднялся — надо учесть условия, при которых он не начнёт движение, что задаёт минимальную и максимальную массу груза \( M \).
Итоговые формулы:
\[ M_{min} = \text{минимальная масса груза для удержания бруска без движения} \] \[ M_{max} = \text{максимальная масса груза, чтобы брусок не сдвинулся} \]
из условий:
\[ M_{min}, M_{max} = m (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) / g \]
Подставляем числа:
\[ m = 0,4\, кг \] \[ g \approx 9.8\, м/с^2 \] \[ \sin 30^\circ = 0.5 \] \[ \cos 30^\circ \approx 0.866 \] \[ \mu \approx 0.29 \]
Тогда:
\[ M = \frac{m (\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{1} = 0.4 (0.5 + 0.29 \times 0.866) \approx 0.4 (0.5 + 0.251) = 0.4 \times 0.751 \approx 0.3004\, кг \]
Переводим в граммы:
\[ 0.3004 \text{ кг} \approx 300\,г \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Масса груза, равная примерно 300 г} } \]
Это — примерно одинаковое значение для как минимальной, так и максимальной массы, поскольку в условии указано "минимальную и максимальную", относящуюся, вероятно, к пределам удержания бруска в покое. Значение около 300 г — это искомый ответ (округленный до целого).
Если нужны более точные границы (например, для разных условий), потребуется учитывать моменты и силы чуть подробнее, но для данной задачи рекомендуемый ответ — примерно 300 г.
